Volker Pöhls, Mathematik ist wunderwunderbar
Inspiriert von Heinz Klaus Stricks wundervollem Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" (Teil 3 einer Reihe): Ergänzung, Weiterentwicklung, Forschung
Zum Kapitel 1: "Einfache Muster"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Zwölf-Ecke mit blauen Bändern (Cover, S. 1 und 9)

Im Buch werden einige besonders regelmäßige Zwölfecke gezeigt.

Es gibt jedoch noch andere, so dass sie auf dem Cover nicht hätten wiederholt zu werden brauchen.

Welche Varianten es gibt, findet man auf spielerische Weise heraus, indem man das Gebilde so programmiert, dass die Drehung der Quadrate sowie die Drehung des Sechs-Ecks in der Mitte per Zufall erfolgt.

Man würde gerne erfahren, ob Heinz Klaus Strick die Kacheln mit den blauen Bändern erfunden oder irgendwo gefunden (Wo?) hat.

Mathematik ist wunderwunderbar!
Zwölf-Ecke mit blauen Bändern

to schlange.12eck :s :fak1
  ; Innen 6 x Dreieck ========
  ; mit zufalls richtung
  make "mo pick [0 60]
  rt :mo
  repeat 3[
    fd :s
  rt 180
  schlange.tri :s :fak1
  lt 60
  schlange.tri :s :fak1
  lt 120 bk :s
    rt 120]
  lt :mo
    ; Nach außen 6 Quadrate========
      repeat 6[
    pu fd :s rt 120 fd :s/2 lt 90 fd :s/2 pd
  schlange.quad3 :s :fak1
    pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 120 bk :s pd ;stop
  ;lt 30 bk :s
    rt 60]
  ; Nach außen 6 Dreiecke========
  repeat 6[
  fd :s lt 30
  schlange.tri :s :fak1
  rt 30 bk :s
    rt 60]
end

to schlange.quad3 :s :fak1
; mit Faktor ===================
; from center ==================
; mit Zufallsrichtung =============
  make "mu pick [0 90]
  rt :mu
  pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 90 pd
  make "fak2 1-:fak1
  ; 1 Quadrat ==============
  filled 6[
  repeat 4 [
      fd :s rt 90  ]]
  ; Ring 1 ==============
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1] ;stop
  filled 6[
  fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
    fd :s rt 90 fd :s rt 90
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1]
  filled 6[
    fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
  ;back to center================
  pu fd :s/2
  rt 90 fd :s/2 rt 90 pd
  lt :mu
 ; rt pick [0 90]
end

to schlange.tri :s :fak1
; Dreieck mit Schlange======================
; fak1 z.B .6
; wird automatisch zentriert
  make "fak2 1 - :fak1
; Dreieck ===============================
filled 6 [ repeat 3 [ fd :s rt 120 ] ]
; Kreisstück groß ===============================
filled 3 [ fd :s*:fak1 bk :s*:fak1 arc 60 :s*:fak1 ]
; Kreisstück klein ===============================
filled 6 [ fd :s*:fak2 bk :s*:fak2 arc 60 :s*:fak2 ]
end

cs
schlange.12eck 50 .6
Zwölf-Ecke mit blauen Bändern



Wie gehen Sie vor, wenn Sie das LOGO-Programm im mittleren Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren über EXTRAS - DOWNLOAD DRAWING.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

"Zwölfeck"

Gibt es ein Muster mit regelmäßigen Zwölfecken, das zur vollständigen Parkettierung genutzt werden kann?

Ja!
Dabei werden die Zwölfecke überlappend angeordnet.

Kann man in dieses Muster blaue Bänder einfügen?

Jein!

Wenn nur die einfachen Bögen aus dem Buch verwendet werden sollen, scheint die Antwort zu lauten: Nein.
Oder finden Sie eine Lösung?

Das funktioniert z.B. nicht, wenn Dreiecke von 3 Quadraten umringt werden, also Ausgänge nach allen 3 Seiten haben müssten.

Wenn man für diese Stellen eine neue Kachel verwendet, nämlich ein Dreieck mit Ausgängen nach allen 3 Seiten, lautet die Antwort: Jawoll.

Überlappende Zwölfecke:



Die einfachen Kacheln aus dem Strick-Buch reichen hier nicht zur Parkettierung:
Zwölfecke mit Dreiecken mit 3 Ausgängen



"Zwölfeck"

Gibt es weitere Muster mit regelmäßigen Zwölfecken, das zur vollständigen Parkettierung genutzt werden kann?

Ja!
Bei manchen Mustern mit regelmäßigen Zwölfecken entstehen Dreiecke, in die keine blauen Bänder hineinführen.

Wenn man eine solche unvollständige Parkettierung akzeptiert, die man "Schweizer-Käse-Parkettierung" nennen könnte, gibt es auch Lösungen.
Schweizer-Käse-Parkettierung mit Zwölfecken:



Löcher in der Parkettierung
Schweizer-Käse-Parkettierung mit Zwölfecken:



Löcher in der Parkettierung: Färbt man die Löcher gelb, fallen sie gar nicht auf.

"Zwölfecke"

Wenn man die regelmäßigen Zwölfecke um 30 Grad dreht, müssen die Dreiecks-Löcher zur vollständigen Parkettierung mit 3er-Kreuzungen gefüllt werden.

Zwölfecke

Dazu genügt es, dem Zwölfeck 2 Katzenohren aufzusetzen:



Zwölfecke



Löcher mit 3er-Kreuzungen

Aufgabe: Konstruieren Sie ein Muster mit regelmäßigen Zwölfecken und Sechsecken dazwischen (die jeweils aus 6 kleinen Dreiecken bestehen)!
"Zwölfecke"

Wenn die regelmäßigen Zwölfecke nicht im Verband, also nicht gegeneinander versetzt, sondern genau übereinander positioniert werden, gibt es folgende Varianten:
  • 3er-Kreuzungen-Dreiecke
  • Sackgassen-Dreiecke
  • Quadrate mit einer Durchgangsstraße
  • Löcher in der Parkettierung


Zwölfecke

Sackgasse:



Zwölfecke

Quadrate mit einer Durchgangsstraße



"Edelstein"

Im Buch findet man 4 Lösungen für diesen "Edelstein".

Im Lösungsteil im Internet bietet Strick 9 weitere Lösungen.

Hier noch 3 weitere Lösungen:

"Edelstein"

"Edelstein"

Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Aufgaben
  1. Wie lässt sich eine Fläche mit Hilfe des symmetrischen Zehnecks "Edelstein" (s.o.) parkettieren? Überlappend oder nicht-überlappend? (Zum Begriff "überlappend siehe unten bei Kapitel 9) Welche Teile überlappen sich?
  2. Eignen sich die "Diamanten" für überlappende oder nicht-überlappende Parkettierung des Musters?



  3. Wie kommt man am ehesten zu einer elementaren Figur (wie den Diamanten), die sich für eine vollständige, nicht überlappende Parkettierung eignet?

    • Alle Teilchen identifizieren, die sich unterscheiden nach
      1. Form
      2. Größe
      3. Richtung
    • Eine zusammenhängende Fläche im Muster suchen, in dem jedes dieser Teilchen einmal zu finden ist


  4. Elementar-Teilchen in diesem Parkett:

  1. Wie verhält es sich mit einer Sternfigur? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
  2. Vorschlag: Malen Sie Grundfiguren in das Blanko-Parkett in verschiedenen Farben/Mustern hinein!

  3. Wie verhält es sich mit einer "Mühle"? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
  4. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Zapfen"? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?


  5. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Krone"?


  6. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Moewe"?
  7. Die letzten Lösungen fehlen bei Strick.

Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Großfiguren zur Parkettierung

Im Internet hier und hier findet man folgende (nicht elementare) Figur zur Parkettierung. Ich nenne sie mal "Widderkopf". Sie ist wunderschön. Warum ist sie nicht perfekt?

Großfiguren zur Parkettierung

In der Figur links fehlt ein Dreieck, wenn man eine Fläche damit komplett parkettieren möchte!

Aufgabe: Füllen Sie die Figur mit "blauen Bändern"! Achten Sie bei der Programmierung darauf, dass die Quadrate sich per Zufall drehen!

  1. Wie kommt man zu so einer Figur? Indem man kleinere Figuren überlappend oder nicht zusammensetzt - hier 4 Mal ein "Diamant".
    Aufgabe: Setzen Sie 3 mal 3 "Diamanten" zu einer Großfigur zusammen, die parkettierbar ist !
  2. Stellen Sie selbst eine andere wunderschöne Figur zusammen!
  3. Wie kann man kontrollieren, ob man keinen Fehler gemacht hat?
    Z.B. indem man mehrere Figuren in einem Malprogramm transparent nebeneinander legt.
Weitere komplette Parkettierungen

Parkettierung mit Zufallsmuster

Parkettierung mit "Zapfen"

Alternative Muster

Gekringelte Bänder im Quadrat (siehe auch weiter unten)
Gekringelte Bänder im Quadrat

Gekringelte Bänder im Quadrat

Alternative Muster

  • Im Quadrat können die Bänder sich kreuzen.
  • Im Dreieck kann es Ausgänge in alle drei Richtungen geben.
Quadrate mit Kreuzungen

Drei-Ecke mit Dreier-Kreuzung

Alternative n-Ecke

Sechs-Ecke mit blauen Bändern

Sechs-Ecke

Sechs-Ecke





Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten



Parkett aus 6-Ecken, 4-Ecken, 3-Ecken
Da von einem 3-Eck drei 4-Ecke ausgehen, muss ein 3-Eck 3 Ausgänge haben.
Drehung von 6-Eck und 4-Eck zufällig
Der Reiz am Ergebnis: Schlange mündet jeweils in zahlreiche runde "Schlangen-Köpfe"

Koepfe

in Parkett aus 6-Ecken, 4-Ecken, 3-Ecken

6-Eck-Parkett



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Das Charmante an dieser Variante besteht darin, dass die blauen Bänder Kreisläufe bilden (während sie bei den zweidimentsionalen Parkettierungen meistens irgendwo ins Nirvana gehen).

Würfel mit blauen Bändern

Würfel 1

Würfel 2



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Quadratische Pyramide

Quadratische Pyramide 1

Quadratische Pyramide 2



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

6-Ecke und 4-Ecke 1

6-Ecke und 4-Ecke 1

6-Ecke und 4-Ecke 2



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Oktaeder

Ikosaeder

Oktaeder, abgestumpft

Ikosaeder



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Oktaeder

Oktaeder 1

Oktaeder 2



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Laternen

Laterne 1

Laterne 2



Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten



Dodekaeder

 

 

Doppelschlange

Doppelschlange

Doppelschlange 1

Doppelschlange 2



Gestreifte Schlange
Zweifarbige Schlange

Gestreifte Schlange

Zweifarbige Schlange



Alternative Muster
Looping statt Viertelkreis in den Ecken

Looping in gegenüberliegenden Ecken

Looping in gegenüberliegenden Ecken



Alternative Muster
Kurve statt Viertelkreis in den Ecken

Kurve in gegenüberliegenden Ecken

Eckige Schlange



Zum Kapitel 3: "Kreisfiguren und Figuren aus Kreisen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Kreise mit Linsen (S. 49)

Es ist nett, sich die hübschen Abbildungen in Stricks Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" anzusehen.

Wesentlich mehr Befriedigung bringt es, die geometischen Gebilde selbst zu erstellen und zu variieren.

Selbstverständlich können andere viel besser programmieren als Sie und ich. Aber entscheidend ist das Ergebnis.

Welche anderen guten Werkzeuge gibt es zur Konstruktion geometrischer Figuren?
Kreis mit Linsen

to linsex :r :co1 :co2
  setpc :co1
  filled :co1[
    arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu rt 60 fd :r rt -60 fd :r rt 180 pd
  setpc :co1
  filled :co1[arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu fd :r rt 60 fd :r rt 180 rt -60 pd
end

to kreis.linsen :r :co1 :co2 :co3
  ; 1.) Gefärbter Kreis
  filled :co3[arc 360 :r]
  ; 2.) 6 Linsen ausßen
  repeat 6[linsex  :r :co1 :co2
  rt 60]
  ; 3.) 6 Linsen innen
  repeat 6[
  pu fd :r rt 120 pd
  linsex  :r :co1 :co2
    pu rt -120 fd -:r pd
  rt 60]
end

cs
ht
kreis.linsen 100 3 1 6
;linsex 100 3 1
Kreis mit Linsen



Wie gehen Sie vor, wenn Sie das LOGO-Programm im mittleren Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

Zum Kapitel 3.2: "Yin und Yang"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Yin und Yang (S. 67)

Kreise in Kreisen sind ein faszinierendes Thema.

Die Kreise innen können ihrerseits auf verschiedene Weise gefüllt werden.

Eine Möglichkeit besteht darin, sie wiederum mit Kreisen oder Yin und Yang zu füllen (Strick S. 67).

Weitere Möglichkeiten bestehen darin, sie mit Kreis-Aufteilungen oder mit Fischblasen zu füllen.

Kreis mit Yin und Yang



Wie könnten die Kreise sonst noch gefüllt werden?

Betreutes Kreativ-Sein

Finden Sie 3/5/10 weitere Muster zum Füllen der Kreise!
Wenn Sie keine Ideen mehr haben, suchen Sie im Internet nach Bildern mit den Suchbegriffen "Kreise Muster", "circles patterns" o.Ä. Beispiele:

  • n-Ecke
  • Sterne
  • Sterne im Kreis
  • Konzentrische Kreise
  • Dezentrierte Kreise
  • Kreisbögen
  • Mandalas
  • Blumen-Muster
  • gestreift
  • gedrehte n-Ecke
  • Spirale
  • n-Eck-Fraktale
  • Epizykloide
Kreis mit 3- bis 7schweifigen Fischblasen









Zum Kapitel 8: "Fußball-Bundesliga, Umfüllprobleme und Ganzzahl-Billard"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Die Lösung von Umfüllproblemen über eine Art Billard-Grafik hat Charme und ist systematisch.

Wie lässt sich das Kapitel erweitern?

1.) Eine wichtige Lehre daraus für konkrete Umfüllaufgaben in zahlreichen Denksport-Büchern bzw. Denksport-Seiten kommt nicht klar heraus: Es gibt immer zwei Lösungen, wobei eine für gewöhnlich langwieriger ist als die andere. Bei logic-weekly.de, spiegel.de, denksport-rätsel.de wird aber jeweils nur 1 Lösung präsentiert.

2.) Gibt es mehr als 2 Lösungen?

Angenommen, es sei beim klassischen Umfüllsetting das Ziel, 2 Liter abzumessen. Dann gibt es genau 2 stringente Lösungen, wobei bei der ersten mit dem 5-L-Gefäß angefangen wird, bei der zweiten mit dem 3-L-Gefäß. Wenn man allerdings die jeweils erste Lösungskonstellation "verschläft", dann gibt es in der Tat mehr als 2 Lösungen.
Das gleiche gilt, wenn Fehler gemacht werden, d.h. wenn man die Billardkugel wieder zurücklaufen lässt.

3.) Strick behandelt folgende Umfüllprobleme:
  1. volles 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 x 4 L
  2. volles 8-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 5 L (S. 212)
  3. volles 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 1 L (S. 213)
  4. 10-L-Gefäß mit 6 L, volles 6-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 3 L, 4 L, 5 L gleichzeitig in den Gefäßen (S. 213)
  5. volles 24-L-Gefäß, leeres 13-L-Gefäß, leeres 11-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 1 L (S. 213)


Folgende weitere Umfüllaufgaben bieten sich an, die man mit dem Billard-System lösen kann:
  1. leeres 4-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 L ( www.inf-schule.de)
  2. leeres 9-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, Ziel: 3 L
  3. leeres 7-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, Ziel: 5 L
  4. volles 10-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 x 5 L (simplifiedways.blogspot)
  5. volles 16-L-Gefäß, leeres 9-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, Ziel: 2 x 8 L
  6. volles 12-L-Gefäß, leeres 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 6 L (watson.ch)
  7. Wasserhahn, leeres 9-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, Ziel: 6 L (spiegel.de vom 5.5.2018)
4.) Es ist extrem unpraktisch und ungewohnt, mit einem Dreiecks-Blatt zu arbeiten. Es ist wesentlich einfacher, ein verschobenes Dreiecksblatt zu verwenden, d.h. ein normales, überall vorhandenes kariertes Blatt, bei dem man mit Diagonalen arbeitet. (Vgl. Boergens: Umfüllprobleme) Dabei gilt zwar bedauerlicherweise das schöne Prinzip "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel nicht", aber dafür kann man mit normalem Papier arbeiten!

5.) Das Billard-Verfahren nützt einem überhaupt nichts, wenn man eine mehrdimensionale Umfüll-Aufgabe wie diese lösen möchte:

volles 24-L-Gefäß, leeres 13-L-Gefäß, leeres 11-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 3 x 8 L.

Oder wie könnte man den Billard-Tisch drei-dimensional gestalten?


Mathematik ist wunderwunderbar!
6.) Man kann das Umfüllen komplett durchlösen, also nicht abbrechen, sobald man die Zielkonstellation erreicht hat. Für die Billard-Lösung bedeutet das, dass man die Kugel komplett über den Tisch laufen lässt, bis sie ihren Ausgangspunkt wieder erreicht hat. Das muss zweimal geschehen: Beim ersten Mal fängt man mit dem mittleren Gefäß an, beim zweiten Mal mit dem kleinsten Gefäß.

An der Komplett-Tabelle kann man ablesen, welche Ziel-Konstellationen überhaupt möglich sind, bzw. welche unmöglich sind.

So sind im Fall des klassischen Umfüllproblems die Konstellationen 2 x 1 Liter, 1 Liter und 6 Liter, 2 x 2 Liter und 2 Liter und 4 Liter unmöglich.
Strick liegt also falsch, wenn er schreibt: "Auch jede andere Aufteilung des Weinvorrats kann durch Umfüllen erfolgen (...)" S. 212

7.) Kann man auch vom Zielpunkt ausgehen?
Das kann man machen. Voraussetzung ist natürlich, dass man die richtigen Laufrichtungen der "Billardkugel" kennt.

8. Sollte man zur Lösung immer mit dem kleinsten Gefäß anfangen?
Nein. Dies kann mal zur schnelleren Lösung führen, mal zur langsameren. Bsp. Bei der klassischen Konstellation führt der Start mit dem 3-L-Gefäß zu einer schnelleren Lösung beim Ziel 7 L, aber zu einer langsameren Lösung beim Ziel 4 L.

9.) Man kann die Lösung werten, indem man die Anzahl von Umschüttungen vergleicht. Gibt es noch alternative Bewertungs-Kriterien?

Ja. Man könnte als Kriterium die Anzahl bewegter Liter heranziehen. Bei der Billard-Lösung entspricht das der von der Kugel zurückgelegten Strecke.

10.) Sind Aufgaben wie "leeres 0,4-L-Gefäß, leeres 0,1-L-Gefäß, Ziel: 2 x 0,6 L" etwas Besonderes?

Nein. Entscheidend sind die Relationen zwischen den Gefäßgrößen. Diese Aufgabe kann man durch "Erweitern" mit dem Faktor 10 transformieren in "leeres 4-L-Gefäß, leeres 1-L-Gefäß, Ziel: 2 x 6 L".
Zum Kapitel 8.3: "Ein Billardspiel auf einem rechteckigem Tisch mit ganzzahligen Seitenlängen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Bei Strick werden auf 5 Seiten nur einfache rechteckige Billardtische behandelt, auf denen ausschließlich 45°-Schüsse abgegeben werden.

Dies kann und sollte erweitert werden, da es sonst schnell zu langweilig wird.

1. In Moscovich Buch "Über 500 Brain Games" bringt er in den Aufgaben 396 bis 399 Aufgaben, in denen es auf das Ziel ankommt, und der nötige Abschusswinkel nicht vorgegeben, sondern berechnet wird. Außerdem liegen auf zwei Billard-Tischen Rechtecke als Hindernisse. Dadurch werden die Aufgaben zwar nicht realistisch, aber herausfordernd und spannend.

2.) Es ist einfach, eigene, spannende Billard-Aufgaben zu konstruieren.


Mathematik ist wunderwunderbar!
3.) Die Kugel startet bei Punkt A ("Anfang"). Ziele können E1 bis En sein. Kann man die Ziele erreichen und, wenn ja, wie? Die Aufgaben kann man (wie bei Moscovich) auch noch spezifizieren, indem Zusatzbedingungen angegeben werden (z.B.: Wie viele Banden sollen berührt werden? Wie oft soll die Kugel abprallen, bevor sie ins Ziel geht?)




Wurfstern - Ninja Star (S. 224 oben)



Für Wurfsterne gilt:

  1. Auf jeder der 3 Seiten befindet sich ein S-förmiger Bogen. Es können aber auch mehrere "S"-Bögen sein.
  2. Die Wurfsterne können rechts- oder linksdrehend sein.
  3. Der Winkel des Bogens beträgt bei Strick 120°. Es sind jedoch beliebige Winkel möglich. Hauptsache, sie sind bei allen Bögen gleich.
  4. Statt Kreisbögen eignen sich ebenso gut eckige S-Formen. (Vgl. Gosper-Kurve)


Wurfstern - Ninja Star

Wurfstern - Ninja Star: Doppel-S



Wurfstern - Ninja Star - eckig



Wurfstern - Ninja Star - linksdrehend

Wurfstern - Ninja Star: 60° statt 120°



Zum Kapitel 9.1: "Muster aus Kreisen und Kreisbögen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Hintereinanderliegende Kugeln (S. 225)

"Diese Anordnung erzeugt in unserem Gehirn den Eindruck von hintereinanderliegende Kugeln.", schreibt Strick.

Was der Betrachter mit den Gebilden assoziiert, ist wohl eher intersubjektiv unterschiedlich. Das Gebilde ist auslegungsfähig wie die Gebilde in projektiven Tests. Man kann ebensogut an Schuppen, Schindeln, Gingko-Blätter oder sonst etwas erinnert werden.

Man kann diese "Schindeln" sehr schön parkettieren, wenn man sie nicht - wie Strick - alle in die gleiche Richtung zeigen lässt, sondern a) sie um 45° dreht, b) die zweite "Schindel" um 90° dreht.

Schindeln bei Strick



Schindeln: 45°



Es gibt 2 verschiedene Arten von Parkettieren, überlappendes und nicht-überlappendes Parkettieren.

  1. Nicht-überlappendes Parkettieren

    Dabei wird mit den kleinsten Elementen (Kacheln, Teilen) gearbeitet. Dies wird praktiziert von Fliesen-, Platten-, Mosaiklegern, Intarsien-Schneidern. Es ist zu finden bei Papp- und Holzpuzzlen.


  2. Überlappendes Parkettieren

    Hier wird mit Elementen gearbeitet, die größer sind als die nachher sichtbaren Einzelteile. Damit hat man es zu tun bei Dachziegeln/Schindeln, bei Tierschuppen (Schuppentiere, Fische, Schmetterlinge, Federn von Vögeln etc.), bei künstlerischen Collagen mit Papier.

    Bei der grafischen Programmierung kann man unterscheiden zwischen transparenten, halbtransparenten (eventuell tolle Farbeffekte wg. der Mischung) und intransparenten Überlappungen. Bei nicht-transparenten Überlappungen spielt die Überlappungs-Richtung eine große Rolle.

    Programmiertes Parkettieren gehört zum virtuellen Parkettieren, während Handwerker es mit realem, echtem Parkettieren zu tun haben.

    Ein Merkmal (Nachteil?) des überlappenden Parkettierens besteht darin, dass ein Teil der Bild-Ränder anders aussieht als der Rest, weil dort die zugrundeliegenden Figuren sichtbar werden. So eignet sich überlappendes Parkettieren nur bei Transparenz, wenn man eine Fläche n-Mal um einen Punkt kreisen lässt, nicht jedoch bei Nicht-Transparenz.
Beim virtuellen Parkettieren wie auf dieser Seite hat der Programmierer die Wahl zwischen überlappendem oder nicht-überlappendem Parkettieren.
Schindeln: 0 und 90°



Wenn man das gleiche Muster um 45° dreht, wirkt es nicht so spektakulär.

Schindeln mit je 1 Kreisbogen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt

Schindeln mit je 1 Kreisbogen: anders eingefärbt



Ähnliche Kachel mit je 2 Kreisbögen (S. 227 oben)

Oben befinden sich 2x2 konvexe Kreisbögen, unten 2x2 konkave Kreisbögen.

Strick macht daraus ein Parkett, bei dem die Kacheln wieder alle gleichgerichtet sind.

Schauen wir stattdessen, wie man das Muster systematisch variieren kann.

Es gibt zumindest 2 Verfahren, wie man unterschiedliche Parkettierungen erzeugen kann:
  1. Nachdenken, welche Seite einer Kachel mit welchen Seiten einer zweiten Kachel zusammenpasst.
  2. Empirisch-praktisches Trial-and-Error-Verfahren mit aus Papier ausgeschnittenen Kacheln


  • Man kann n Kreisbögen hintereinandersetzen, also statt 1 oder 2 auch 3, 4 oder mehr.
  • Man kann die Kacheln nicht nur auf die von Strick gezeigte, sondern auf verschiedene Weise aneinanderfügen und zum Parkettieren nutzen.
Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt

Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt



Würde man das gleiche Muster um 45° drehen, wäre es weniger interessant.



Ähnliche Kachel mit je 3 Kreisbögen

Oben befinden sich 2x3 konvexe Kreisbögen, unten 2x3 konkave Kreisbögen.

Man kann die Kacheln auf verschiedene Weise aneinanderfügen und zum Parkettieren nutzen.
Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt

Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt

Weiterführende Ideen

Schindel mit je 4 Kreisbögen

Zwischen-Objekt zum Parkettieren

Oder lassen Sie die Schindeln doch von links oben nach rechts unten laufen!
Hier können natürlich auch Kacheln mit n Kreisbögen pro Seite eingesetzt werden.
Andere Bogen-Winkel

Die Bogenwinkel können beliebig gewählt werden. Entscheidend für die Parkettierung ist, dass die gegenüberliegenden Seiten einer Kachel sich jeweils ergänzen (hier: die gleiche Krümmung haben).

Klothoide Teil 1 - Kapitel 12.3, S. 321-323
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Im Buch wird erklärt, wie verschiedene Klothoiden erzeugt werden können und 7 dieser Klothoiden werden abgebildet. Hieran lässt sich zunächst Folgendes verbessern:
  1. Die Bilder der Klothoiden erinnern an Pixelgrafiken aus der Steinzeit der Datenverarbeitung; die Klothoiden wirken eckig.
  2. Die Erklärung des Drehmechanismus bei Klothoiden ist nicht anschaulich genug für Dummies.
  3. Es wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
  4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet:
    • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
    • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene und wenn ja, worin unterscheiden sie sich?
    • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen?
    • Müssen die "Tornados" zwangsläufig linksdrehend sein?
  5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 "Wollknäueln" sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?



Mathematik ist wunderwunderbar!

Klothoiden im Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" von Strick

 
Klothoide Teil 2 - Ergänzung, Verbesserung, Weiterentwicklung

Ich versuche, diese Punkte Schritt für Schritt abzuarbeiten:
  1. Im Netz habe ich nicht gefunden, wie man eckige Klothoide glätten kann.
    Die Lösung liegt darin, dass man den jeweiligen Winkel über einen Faktor verkleinert und gleichzeitig die Anzahl der Wiederholungen vergrößert. (Dazu genaueres bei den folgenden Punkten)
  2. Den Drehmechanismus bei Klothoiden kann man folgendermaßen anschaulich nachvollziehen:
    Einfache Klothoide, bei der die Änderung der Richtung nach jedem Schritt vorwärts 90°, 180°, 270°, 360° beträgt.
    Man nehme ein Geo-Dreieck und Bleistift. Man zeichnet jeweils Linien von z.B. 5 cm. Die erste Linie wird senkrecht abgetragen. An deren Ende dreht man das Geo-Dreieck um 90 Grad und zeichnet wieder eine Linie von 5 cm. Dann hat man einen Haken nach rechts gezeichnet. Am Ende dreht man das Geo-Dreieck um 180° mit Linie, dann wieder um 90° mehr, also 270° usw. Die Drehung um 180° bewirkt, dass man auf derselben Strecke wieder zurückzeichnet, bis man zurück an den Ausgangspunkt gelangt. Die Drehung um 360° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 0°, also überhaupt keine Drehung. Die Drehung um 450° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 90°. 540° entspricht 540°-360°=180°. Nach 8 Schritten hat man einen eckigen Haken gezeichnet und ist wieder am Ausgangspunkt angelangt. Dies ist die simpelste Klothoide; sie ist symmetrisch, hat zwei (hier nur angedeutete) Pole.
    Besser deuten sich die beiden Eindrehungen an, wenn man Haken mit 3 Linien zu jeder Seite und Winkeln zeichnet, die sich jeweils um 60° erhöhen. Noch deutlicher wird es bei Klothoiden mit 4 Linien zu jeder Seite und Winkel-Inkrementen (Erhöhung, Zuwachs) von 45°. Wenn man die Winkel verkleinert und die Anzahl Linien erhöht, kommen "richtige" Klothoide dabei heraus. Diese sind zunächst noch eckig, werden aber mit abnehmenden Winkel immer glatter und feiner. Jetzt sollte die Entstehung von zweipoligen Klothoiden anschaulich genug erklärt worden sein.

    Wie funktioniert aber der Dreh-Mechanismus bei Klothoiden mit mehr als 2 Zentren? Suchen wir uns dafür eine besonders elementare Klothoide mit wenigen Linien. Nehmen wir einen Inkrement-Winkel von 180 Grad. Wir addieren jedoch jeweils noch eine Konstante von 45°. Die Winkel entwickeln sich also folgendermaßen: 45+180=225 / 45+2*180=405, netto 45 / 45+3*180=netto 225 / 45+4*180=netto 45 usw.
    Die entscheidenden Unterschiede zu der zweiköpfigen Klothoide: Man kommt nach 8 Winkelzügen wieder an den Ausgangspunkt zurück, hat aber 4 Spitzen durchlaufen. Die 4 Ecken entwickeln sich erst bei kleineren Winkeln zu regelrechten Tornados.
    Das wird schon deutlicher, wenn man als Konstante 30 und Inkrement-Winkel 120 nimmt. Dann braucht man 4x3=12 Linien, um wieder an den Ausgangspunkt zu kommen; die Tornados sind schon durch einen Haken angedeutet. Ganz deutlich wird das bei einer Konstante 15 und Inkrement-Winkel 60 und 4x6 Linien.
    Allmählich wird es allerdings Sklavenarbeit, diese vielen Strecken und Winkel mit Bleistift und Geodreieck nachzuvollziehen. Diese Sklavenarbeit sollte man schon einem Programm mit vielen Schleifen überlassen.
    Ähnlich funktionieren die anderen Klothoide auch: Die Strecke dreht sich zum Zentrum, dreht sich wieder aus dem Zentrum heraus, aber in einem anderen Winkel. Mehrere solcher Tornados mit Eingangs- und Ausgangslinie werden zu einer kompletten Klothoide zusammengesetzt.
  3. Bei Strick wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
    Geodreieck und Stift mögen genügen für supereinfache, rudimentäre Klothoiden-Ansätze. Sobald jedoch zu viele Linien gezeichnet werden müssen und die Winkel zu fein werden, kann diese Aufgabe nur noch von einem Programm erledigt werden.
    Dafür bietet sich ein LOGO-Programm an. Welchen LOGO-Dialekt man wählt, ist wohl eher Geschmackssache. Ich habe JSLOGO ausgewählt, weil man dafür nichts zu installieren braucht, keine Kosten entstehen, keine Anmeldung vonnöten ist etc.
    Ein einfaches LOGO Programme für Klothoide findet man auf der Klothoiden-Seite der englischen WIKIPEDIA:
    rt 90
    repeat 720 [ fd 10 lt repcount ]
    Bestechend daran ist, dass man mit extrem wenig Code ein beeindruckendes Ergebnis erzeugen kann. Nachteile sind, dass man nicht erfährt, wie man die Variablen verändern muss, um andere Ergebnisse zu erhalten, dass für besondere Klothoide ein so simples Programm nicht ausreichend ist.
    Ein leistungsfähigeres Programm findet man, das als Ergebnis eines Wettbewerbs entstanden ist, dessen Ziel darin bestand, mit möglichst wenig Programmiercode spektakuläre Bilder zu erzeugen: Klothoiden-Programm von Paolo Passaro
    to roses :l :n :k
    local "x
    make "x (2 * :k - :n) / (2 * :n)
    repeat 360 * :n [fd :l rt repcount + :x]
    end
    
    ; :l is the step size
    ; :n is the number of "roses"
    ; :k is the order
    
    cs
    roses 4 5 3
    
    Dieses Programm hat 3 Variablen in Form von Parametern. Man findet schnell heraus, dass Ordnung ("order") besagt, mit der wie vielten Nachbarrose eine Rose jeweils verbunden ist: Bei Order 1 sind die direkten Nachbarn jeweils miteinander verbunden; bei Order 2 jede zweite Rose etc. Das Programm ist ein riesiger Fortschritt im Vergleich zum Wikipedia-Programm: Man kann damit verschiedenste Klothoiden erzeugen. Passaros Programm beantwortet einige der oben gestellten Fragen:
    • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen? Ja. Wie? Mit diesem Programm.
    • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene? Es gibt je nach Ordnung unterschiedliche. Worin unterscheiden sie sich? Die Tornados sind unterschiedlich miteinander verbunden.
    • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen? Bei 5 Polen gibt es 2 Varianten: 1 und 2.Ordnung. Die Lösung 3. Ordnung ist identisch mit der Lösung 2. Ordnung. Die Lösung 4. Ordnung ist identisch mit der Lösung 1. Ordnung;
    Aber es hat noch eine Reihe von Schwächen.
    1. Es funktioniert z.B. nicht, wenn man eine Klothoide mit 4 Tornados der 2. Ordnung erzeugen möchte oder 9 Tornados der 3. Ordnung.
    2. Das Programm beantwortet nicht, wie man die Eckigkeit der Klothoiden manipulieren kann.
    3. Es wird nicht gesagt, wie man rechtsdrehende und linksdrehende Klothoiden erzeugt.
    4. Luxus-Features wie Farbwahl, Farbige Füllung, Linienbreite, Ausgangswinkel fehlen.
      Farbwahl: Über den Programm-Befehl schreiben: Setpc 4 [0=schwarz, 1=blue, 2=green, 3=cyan, 4=red, 5=magenta, 6=yellow, 7=white, 8=brown, 9=tan, 10=green, 11=aqua, 12=salmon, 13=purple, 14=orange, 15=gray]
      Farbige Füllung: Über den Programm-Befehl schreiben: filled 4 [ (eckige Klammer auf) und unter den Programm-Befehl: ] (eckige Klammer zu)
      Linienbreite: setpw 1 [1=Standard, .5 ist dünner etc.]
      Ausgangswinkel: Über den Programm-Befehl schreiben: right 30 (oder anderen Winkel) oder left 10 (oder anderen Winkel)
  4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet: Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
  5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 Wollknäueln sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?



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Geglättete Klothoiden verschiedener Ordnung mit zwei Drehrichtungen mit 2 bis 14 Polen
to klo5 :s :zus :konst :rep
  ; Elementare Klothoiden ============
  ; :s = Länge einer Strecke
  ; :konst Konstanter Winkel
  ; :zus = Inkrement-Winkel
  ; :rep Anzahl Wiederholungen
  make "win 0
      repeat :rep[
  make "win :win+:zus
    fd :s rt :konst+:win]
end

cs
klo5 30 60 15 24 

Wie gehen Sie vor, wenn Sie die LOGO-Programme im linken Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

Klothoide Teil 3 - Andere Objekte aus Klothoiden-Teilen erzeugen

  1. Man kann Klothoiden - wie bei einer Babuschka-Puppe - ineinander stapeln. Voraussetzung für eine exakte Lösung wäre allerdings die Bestimmung des Mittelpunktes (siehe nächster Abschnitt).
  2. Man kann nach Klothoiden suchen, die keine Rundgebilde erzeugen.
  3. Man kann Teile von Klothoiden zusammenstellen.
  4. Haben Sie weitere tolle Ideen und Realisierungen?



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Geschachtelte Klothoide




 
Klothoide Teil 4 - Ungeklärte Fragen

  1. Wie lässt sich der Mittelpunkt einer Klothoide bestimmen?
    Wie lassen sich die n Anfangspunkte einer Klothoide bestimmen?
    Idee: Das Programm kann nach (Anzahl Schritte)/(Anzahl Zentren) abgebrochen werden, dann lassen sich die Anfangspunkte sowie die Strecken dazwischen bestimmen.
    Wie lassen sich die Zentren der Tornados bestimmen?
    Ohne die Beantwortung der Mittelpunktsfrage sind wohl keine Klothoiden exakt konstruierbar, bei denen die Anzahl Tornados durch die Ordnung teilbar ist bei Ordnungen größer als 1. Auch Babuschka-Konstruktionen (siehe Teil 3) sind nicht exakt möglich.

    Meine "Lösung" ist so abenteuerlich schlecht, dass ich sie lieber nicht veröffentlichen möchte.

  2. Wie lässt sich exakt bestimmen, welche Faktoren zum Glätten der Klothoiden im Progarmm zulässig sind?
  3. Schreiben Sie ein Programm, mit dem man online beliebige Klothoide erstellen kann!
  4. Haben Sie weitere Fragen und Antworten?



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First published: 16.05.2020
Last Update:    04.06.2020
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