Volker Pöhls, Mathematik ist wunderwunderbar
Inspiriert von Heinz Klaus Stricks wundervollem Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" (Teil 3 einer Reihe):
Ergänzung, Weiterentwicklung, Forschung
Zum Kapitel 1: "Einfache Muster"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Zwölf-Ecke mit blauen Bändern (Cover, S. 1 und 9)

Im Buch werden einige besonders regelmäßige Zwölfecke gezeigt.

Es gibt jedoch noch andere, so dass sie auf dem Cover nicht hätten wiederholt zu werden brauchen.

Welche Varianten es gibt, findet man auf spielerische Weise heraus, indem man das Gebilde so programmiert, dass die Drehung der Quadrate sowie die Drehung des Sechs-Ecks in der Mitte per Zufall erfolgt.

Man würde gerne erfahren, ob Heinz Klaus Strick die Kacheln mit den blauen Bändern erfunden oder irgendwo gefunden (Wo?) hat.

Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Zwölf-Ecke mit blauen Bändern

to schlange.12eck :s :fak1
  ; Innen 6 x Dreieck ========
  ; mit zufalls richtung
  make "mo pick [0 60]
  rt :mo
  repeat 3[
    fd :s
  rt 180
  schlange.tri :s :fak1
  lt 60
  schlange.tri :s :fak1
  lt 120 bk :s
    rt 120]
  lt :mo
    ; Nach außen 6 Quadrate========
      repeat 6[
    pu fd :s rt 120 fd :s/2 lt 90 fd :s/2 pd
  schlange.quad3 :s :fak1
    pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 120 bk :s pd ;stop
  ;lt 30 bk :s
    rt 60]
  ; Nach außen 6 Dreiecke========
  repeat 6[
  fd :s lt 30
  schlange.tri :s :fak1
  rt 30 bk :s
    rt 60]
end

to schlange.quad3 :s :fak1
; mit Faktor ===================
; from center ==================
; mit Zufallsrichtung =============
  make "mu pick [0 90]
  rt :mu
  pu bk :s/2 rt 90 bk :s/2 lt 90 pd
  make "fak2 1-:fak1
  ; 1 Quadrat ==============
  filled 6[
  repeat 4 [
      fd :s rt 90  ]]
  ; Ring 1 ==============
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1] ;stop
  filled 6[
  fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
    fd :s rt 90 fd :s rt 90
  filled 3[
  fd :s*:fak1 bk :s*:fak1
    arc 90 :s*:fak1]
  filled 6[
    fd :s*:fak2 bk :s*:fak2
    arc 90 :s*:fak2]
  ;back to center================
  pu fd :s/2
  rt 90 fd :s/2 rt 90 pd
  lt :mu
 ; rt pick [0 90]
end

to schlange.tri :s :fak1
; Dreieck mit Schlange======================
; fak1 z.B .6
; wird automatisch zentriert
  make "fak2 1 - :fak1
; Dreieck ===============================
filled 6 [ repeat 3 [ fd :s rt 120 ] ]
; Kreisstück groß ===============================
filled 3 [ fd :s*:fak1 bk :s*:fak1 arc 60 :s*:fak1 ]
; Kreisstück klein ===============================
filled 6 [ fd :s*:fak2 bk :s*:fak2 arc 60 :s*:fak2 ]
end

cs
schlange.12eck 50 .6
Zwölf-Ecke mit blauen Bändern

Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren
Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren
Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren Zwoelfeck aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern zum Parkettieren


Wie gehen Sie vor, wenn Sie das LOGO-Programm im mittleren Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren über EXTRAS - DOWNLOAD DRAWING.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

"Zwölfeck"

Gibt es ein Muster mit regelmäßigen Zwölfecken, das zur vollständigen Parkettierung genutzt werden kann?

Ja!
Dabei werden die Zwölfecke überlappend angeordnet.

Kann man in dieses Muster blaue Bänder einfügen?

Jein!

Wenn nur die einfachen Bögen aus dem Buch verwendet werden sollen, scheint die Antwort zu lauten: Nein.
Oder finden Sie eine Lösung?

Das funktioniert z.B. nicht, wenn Dreiecke von 3 Quadraten umringt werden, also Ausgänge nach allen 3 Seiten haben müssten.

Wenn man für diese Stellen eine neue Kachel verwendet, nämlich ein Dreieck mit Ausgängen nach allen 3 Seiten, lautet die Antwort: Jawoll.

Überlappende Zwölfecke:

4 eng zusammenstehende sich überlappende Zwoelfecke aus Quadraten und Dreiecken zum Parkettieren


Die einfachen Kacheln aus dem Strick-Buch reichen hier nicht zur Parkettierung:
Zwoelfecke aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern, deren Muster nicht zum Parkettieren geeignet sind
Zwölfecke mit Dreiecken mit 3 Ausgängen

Gleichseitiges Dreieck mit blauem Band als Dreier-KreuzungZwoelfeck mit Dreiecken mit blauem Band als Dreier-Kreuzung 4 Zwoelfecke parkettiert u.a. mit Dreieck mit blauem Band als Dreier-Kreuzung


Fläche komplett parkettiert mit Zwoelfecken und mit Dreiecken mit blauem Band als Dreier-Kreuzung
"Zwölfeck"

Gibt es weitere Muster mit regelmäßigen Zwölfecken, das zur vollständigen Parkettierung genutzt werden kann?

Ja!
Bei manchen Mustern mit regelmäßigen Zwölfecken entstehen Dreiecke, in die keine blauen Bänder hineinführen.

Wenn man eine solche unvollständige Parkettierung akzeptiert, die man "Schweizer-Käse-Parkettierung" nennen könnte, gibt es auch Lösungen.
Schweizer-Käse-Parkettierung mit Zwölfecken:

Komplette Fläche parkettiert mit nicht überlappenden Zwoelfecken u.a. mit leeren Dreiecken dazwischen: Schweizer-Käse-Parkettierung


Löcher in der Parkettierung
Schweizer-Käse-Parkettierung mit Zwölfecken:

alt="Komplette


Löcher in der Parkettierung: Färbt man die Löcher gelb, fallen sie gar nicht auf.

"Zwölfecke"

Wenn man die regelmäßigen Zwölfecke um 30 Grad dreht, müssen die Dreiecks-Löcher zur vollständigen Parkettierung mit 3er-Kreuzungen gefüllt werden.

Zwölfecke

Dazu genügt es, dem Zwölfeck 2 Katzenohren aufzusetzen:

Zwoelfecken gefüllt mit Quadraten und Dreiecken, mit 2 Katzenohren aus Dreiecken mit 3er-Kreuzungen


Zwölfecke

Fläche komplett parkettiert mit Zwoelfecken gefüllt mit Quadraten und Dreiecken, mit 2 Katzenohren aus Dreiecken mit 3er-Kreuzungen dazwischen


Löcher mit 3er-Kreuzungen

Aufgabe: Konstruieren Sie ein Muster mit regelmäßigen Zwölfecken und Sechsecken dazwischen (die jeweils aus 6 kleinen Dreiecken bestehen)!
"Zwölfecke"

Wenn die regelmäßigen Zwölfecke nicht im Verband, also nicht gegeneinander versetzt, sondern genau übereinander positioniert werden, gibt es folgende Varianten:
  • 3er-Kreuzungen-Dreiecke
  • Sackgassen-Dreiecke
  • Quadrate mit einer Durchgangsstraße
  • Löcher in der Parkettierung


Zwölfecke

Sackgasse:

gleichseitiges Dreieck zum Parkettieren mit SackgasseFläche parkettiert mit 4 Zwölfecken und u.a. gleichseitigen Dreiecken mit Sackgasse


Zwölfecke

Quadrate mit einer Durchgangsstraße

Sich berührende Zwoelfecke zur Parkettierung der Ebene u.a. mit Quadraten mit einer Durchgangsstraße


Aufgabe: Designen Sie ein anderes Muster für eine quadratische Kachel mit 2 gegenüberliegenden Ein- und Ausgängen! (z.B. eine S-Kurve oder ein eingerolltes Band)

"Edelstein"

Im Buch findet man 4 Lösungen für diesen "Edelstein".

Im Lösungsteil im Internet bietet Strick 9 weitere Lösungen.

Hier noch 3 weitere Lösungen:

"Edelstein"

Parkettierte Fäche aus Quadraten und Dreiecken in Form eines Edelsteins - Zusatzlösungen
"Edelstein"

Parkettierte Fäche aus Quadraten und Dreiecken in Form eines Edelsteins - Zusatzlösungen Parkettierte Fäche aus Quadraten und Dreiecken in Form eines Edelsteins - Zusatzlösungen
Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Blanko-Parkett aus Quadraten und Dreiecken
Aufgaben
  1. Wie lässt sich eine Fläche mit Hilfe des symmetrischen Zehnecks "Edelstein" (s.o.) parkettieren? Überlappend oder nicht-überlappend? (Zum Begriff "überlappend siehe unten bei Kapitel 9) Welche Teile überlappen sich?
  2. Eignen sich die "Diamanten" für überlappende oder nicht-überlappende Parkettierung des Musters?

    Diamant parkettiert aus Quadraten und Dreiecken mit blauen BändernDiamant parkettiert aus Quadraten und Dreiecken mit blauen Bändern


  3. Wie kommt man am ehesten zu einer elementaren Figur (wie den Diamanten), die sich für eine vollständige, nicht überlappende Parkettierung eignet?

    • Alle Teilchen identifizieren, die sich unterscheiden nach
      1. Form
      2. Größe
      3. Richtung
    • Eine zusammenhängende Fläche im Muster suchen, in dem jedes dieser Teilchen einmal zu finden ist


  4. Elementar-Teilchen in diesem Parkett:

    Elementar-Teilchen im Parkett Elementar-Teilchen im Parkett
    Elementar-Teilchen im Parkett Elementar-Teilchen im Parkett Elementar-Teilchen im Parkett
  1. Wie verhält es sich mit einer Sternfigur? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
    Stern aus Quadrat und Dreiecken zum überlappenden Parkettieren Zwei Sterne aus Quadrat und Dreiecken zum überlappenden Parkettieren
  2. Vorschlag: Malen Sie Grundfiguren in das Blanko-Parkett in verschiedenen Farben/Mustern hinein!

  3. Wie verhält es sich mit einer "Mühle"? Vollständige Parkettierung möglich? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
    Muehlen-Figur für überlappende Parkettierung Muehlen-Figur für überlappende Parkettierung Muehlen-Figur für überlappende Parkettierung
  4. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Zapfen"? (Eventuell hilft Drehen) Überlappend oder nicht?
    Zapfen zur nicht überlappenden Parkettierung Zwei Zapfen zur nicht überlappenden Parkettierung


  5. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Krone"?
    Krone-Figur zur nicht-überlappenden Parkettierung Drei Krone-Figuren zur nicht-überlappenden Parkettierung


  6. Funktioniert eine vollständige Parkettierung mit "Moewe"?
    Moewen-Figur zur nicht überlappenden Parkettierung Moewen-Figuren zur nicht überlappenden Parkettierung
  7. Die letzten Lösungen fehlen bei Strick.

Verschiedene Grundfiguren zur Parkettierung

Großfiguren zur Parkettierung

Im Internet hier und hier findet man folgende (nicht elementare) Figur zur Parkettierung. Ich nenne sie mal "Widderkopf". Sie ist wunderschön. Warum ist sie nicht perfekt?

Widder-Kopf aus Quadraten und Dreieicken zur Parkettierung
Großfiguren zur Parkettierung

In der Figur links fehlt ein Dreieck, wenn man eine Fläche damit komplett parkettieren möchte!

Widder-Kopf aus Quadraten und Dreieicken zur Parkettierung
Aufgabe: Füllen Sie die Figur mit "blauen Bändern"! Achten Sie bei der Programmierung darauf, dass die Quadrate sich per Zufall drehen!

  1. Wie kommt man zu so einer Figur? Indem man kleinere Figuren überlappend oder nicht zusammensetzt - hier 4 Mal ein "Diamant".
    Aufgabe: Setzen Sie 3 mal 3 "Diamanten" zu einer Großfigur zusammen, die parkettierbar ist !
  2. Stellen Sie selbst eine andere wunderschöne Figur zusammen!
  3. Wie kann man kontrollieren, ob man keinen Fehler gemacht hat?
    Z.B. indem man mehrere Figuren in einem Malprogramm transparent nebeneinander legt.
Weitere komplette Parkettierungen

Parkettierung mit Zufallsmuster

Komplette Parkettierung der Fläche mit Zufallsmuster aus blauen Bändern
Parkettierung mit "Zapfen"

Komplette Parkettierung der Fläche mit Zapfen-Muster aus blauen Bändern
Alternative Muster

Gekringelte Bänder im Quadrat (siehe auch weiter unten)
Gekringelte Bänder im Quadrat

Gekringelte Bänder im Quadrat zur Parkettierung
Gekringelte Bänder im Quadrat

Gekringelte Bänder im Quadrat zur Parkettierung
Alternative Muster

  • Im Quadrat können die Bänder sich kreuzen.
  • Im Dreieck kann es Ausgänge in alle drei Richtungen geben.
Quadrate mit Kreuzungen

Quadrate mit Kreuzungen zum Parkettieren
Drei-Ecke mit Dreier-Kreuzung

Drei-Ecke mit Dreier-Kreuzung zum Parkettieren
Alternative n-Ecke

Sechs-Ecke mit blauen Bändern

Sechs-Ecke

Sechs-Ecke mit blauen Bändern zum ParkettierenSechs-Ecke mit blauen Bändern zum Parkettieren
Sechs-Ecke

Komplett parkettierte Flächen mit Sechs-Ecken mit blauen Bändern


Komplett parkettierte Flächen mit Sechs-Ecken mit blauen Bändern


Komplett parkettierte Flächen mit Sechs-Ecken mit blauen Bändern
Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten



Parkett aus 6-Ecken, 4-Ecken, 3-Ecken
Da von einem 3-Eck drei 4-Ecke ausgehen, muss ein 3-Eck 3 Ausgänge haben.
Drehung von 6-Eck und 4-Eck zufällig
Der Reiz am Ergebnis: Schlange mündet jeweils in zahlreiche runde "Schlangen-Köpfe"

Koepfe

in Parkett aus 6-Ecken, 4-Ecken, 3-Ecken

Parkett aus 6-Ecken, 4-Ecken, 3-Ecken mit 3-Eck mit 3 Ausgängen
6-Eck-Parkett

Parkett aus 6-Ecken


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Das Charmante an dieser Variante besteht darin, dass die blauen Bänder Kreisläufe bilden (während sie bei den zweidimentsionalen Parkettierungen meistens irgendwo ins Nirvana gehen).

Würfel mit blauen Bändern

Würfel 1

Würfel-Netz parkettiert mit Quadraten mit blauen Bändern
Würfel 2

Würfel-Netz parkettiert mit Quadraten mit blauen Bändern


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Quadratische Pyramide

Quadratische Pyramide 1

Netz einer quadratischen Pyramide parkettiert mit Flächen mit blauen Bändern
Quadratische Pyramide 2

Netz einer quadratischen Pyramide parkettiert mit Flächen mit blauen Bändern


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

6-Ecke und 4-Ecke 1

6-Ecke und 4-Ecke 1

3D-Objekt aus 6-Ecken und 4-Ecken parkettiert mit blauen Bändern
6-Ecke und 4-Ecke 2

3D-Objekt aus 6-Ecken und 4-Ecken parkettiert mit blauen Bändern


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Oktaeder

Ikosaeder

Oktaeder, abgestumpft

Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten: Oktaeder, abgestumpft
Ikosaeder

Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten: Ikosaeder


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Oktaeder

Oktaeder 1

Parkettierung mit endlosen blauen Bändern auf 3D-Objekten: Oktaeder
Oktaeder 2

Parkettierung mit endlosen blauen Bändern auf 3D-Objekten: Oktaeder


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten

Laternen

Laterne 1

Parkettierung mit endlosen blauen Bändern auf 3D-Objekten: Laterne
Laterne 2

Parkettierung mit endlosen blauen Bändern auf 3D-Objekten: Laterne


Endlose blaue Bänder auf 3D-Objekten



Dodekaeder

Parkettierung mit endlosen blauen Bändern auf 3D-Objekten: Dodekaeder
 

 

Doppelschlange

Doppelschlange

Doppelschlange 1

Parkettierung mit Doppelschlange
Doppelschlange 2

Parkettierung mit Doppelschlange


Gestreifte Schlange
Zweifarbige Schlange

Gestreifte Schlange

Parkettierung mit gestreifter Schlange
Zweifarbige Schlange

Parkettierung mit zweifarbiger Schlange


Alternative Muster
Looping statt Viertelkreis in den Ecken

Looping in gegenüberliegenden Ecken

Parkettierung mit Looping statt Viertelkreis in den Ecken
Looping in gegenüberliegenden Ecken

Parkettierung mit Looping statt Viertelkreis in den Ecken


Alternative Muster
Kurve statt Viertelkreis in den Ecken

Kurve in gegenüberliegenden Ecken

Parkettierung mit Looping statt Viertelkreis in gegenüberliegenden Ecken
Eckige Schlange

Parkettierung mit eckiger Schlange


Path Tile Games

Path Tile Games

Monate nach der ersten Beschäftigung mit den Fliesen mit den blauen Bändern bei Strick entdeckte ich am 24.6.2020 das Strategiespiel "Tantrix" und im Gefolge
  1. andere Path Tile Games, also Spiele, in denen n-Ecke mit Bändern eine Rolle spielen und
  2. Truchet-Kacheln.
Path Tile Games / Pattern matching puzzles (Examples)

Spiel Bild Links Form
Psyche-Paths   Serpentiles 6-Ecke
Kaliko   Serpentiles 6-Ecke
Tantrix Buntes Tantrix Sechseck Serpentiles 6-Ecke
The Rock   Jaapsch 6-Ecke, 4-Ecke 3-D
Entanglement     6-Ecke
Tongiaki   Tongiaki 6-Ecke
Serpentiles     6-Ecke
Möbius Line Puzzle   Jaapsch 5-Ecke 3-D
Trax Rot-weiß auf schwarzem Grund: Quadratische Trax Karten Trax Spiel 4-Ecke
Black Path Game Black Path schwarz-weißes Quadrat Black Path Game 4-Ecke
It's Knot Easy     4-Ecke
Dezign-8     4-Ecke
Celtic!     4-Ecke
The Squiggle Game Squiggle Game BBC Archiv: Squiggle Game 4-Ecke
Gloop Quadrat bei Gloop Gloop 4-Ecke: Unterschiedlich viele Verbindungen pro Seite (!)
Path Tile Game Path Tile Game von Toby Jaffey Path Tile Game von Toby Jaffey 4-Ecke: 2 Verbindungen pro Seite
Knots     4-Ecke: 2 Verbindungen pro Seite
Knot Dice   Knot Dice 4-Ecke: 3-D
Tsuro   Tsuro Rechtecke: Doppel-Quadrate
Waroway‘s Game     Rechtecke: Doppel-Quadrate
Vasco Buntes Vasco Dreieck   3-Ecke
Trifolia     3-Ecke
Knotted     3-Ecke
Übersichten Octagonal Tile nach Colin Beveridge Verschiedene
Truchet-Tiles

  • Englische Wikipedia zu Sebastien Truchet Erster Theoretiker zu Kacheln
  • Englische Wikipedia zu Truchet_tiles Quadratische Kacheln in SW
  • truchet-tiling Bilder von Truchet-Fliesen bei Pinterest
  • Truchet-Effect Lern-Video, wie man mit Truchet-Fliesen parkettiert: Diagonalen, Ringe wie bei Strick, sogar animiert
  • Morphing Tiles
  • Truchet Tiles Generator
  • Googlen Sie nach dem Stichwort "Truchet-Files"!
  • Googlen Sie nach Bildern zum Stichwort "Truchet-Files"! (Schnell findet man Kreisbögen wie bei Strick)
Aufgaben

  • Überlegen Sie, ob es sinnvoll ist, eine deutsche Wikipedia zu haben (statt einer einzigen englischen oder "internationalen" Wikipedia)!
  • Wenn sie es für sinnvoll halten, dann übersetzen Sie fremdsprachige Wiki-Seiten zu den Themen "Path Tile Games" und "Truchet Tiles" ins Deutsche und speichern Sie sie in der deutschen Wikipedia (falls die anonymen Oberaufseher der deutschen Wikipedia damit einverstanden sind)!
  • Erweitern Sie jene Seiten mit eigenen Beiträgen!


Sechs-Ecke

Tantrix

Monate nach der ersten Beschäftigung mit den Fliesen mit den blauen Bändern bei Strick entdeckte ich am 24.6.2020 das Strategiespiel "Tantrix". In dem Spiel werden 6-eckige Plättchen verwendet, auf denen die 6 Seiten mit Bändern in unterschiedlichen Farben verbunden sind. Das Spiel ist bereit 1987 von dem neuseeländischen Mathematiker Mike McManaway gelaunched worden.

Im Gegensatz zu Stricks Fliesen sind die Bänder unterschiedlich gefärbt. Plättchen dürfen nur so aneinandergelegt werden, dass die Bänderfarben jeweils zueinander passen.
Tantrix

Tantrix


Parkettierung mit 6 verschiedenen Sechs-Ecken

Tantrix zeigte mir, dass ich 2 Arten von Sechs-Ecken übersehen hatte.

Sechs-Ecke mit blauen Bändern zum Parkettieren Sechs-Ecke mit blauen Bändern zum Parkettieren


Sechs-Ecke mit blauen Bändern zum Parkettieren


Komplett parkettierte Flächen mit Sechs-Ecken mit blauen Bändern


Zum Kapitel 3: "Kreisfiguren und Figuren aus Kreisen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Kreise mit Linsen (S. 49)

Es ist nett, sich die hübschen Abbildungen in Stricks Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" anzusehen.

Wesentlich mehr Befriedigung bringt es, die geometischen Gebilde selbst zu erstellen und zu variieren.

Selbstverständlich können andere viel besser programmieren als Sie und ich. Aber entscheidend ist das Ergebnis.

Welche anderen guten Werkzeuge gibt es zur Konstruktion geometrischer Figuren?
Kreis mit Linsen

to linsex :r :co1 :co2
  setpc :co1
  filled :co1[
    arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu rt 60 fd :r rt -60 fd :r rt 180 pd
  setpc :co1
  filled :co1[arc 60 :r]
  setpc :co2
  arc 60 :r
  pu fd :r rt 60 fd :r rt 180 rt -60 pd
end

to kreis.linsen :r :co1 :co2 :co3
  ; 1.) Gefärbter Kreis
  filled :co3[arc 360 :r]
  ; 2.) 6 Linsen ausßen
  repeat 6[linsex  :r :co1 :co2
  rt 60]
  ; 3.) 6 Linsen innen
  repeat 6[
  pu fd :r rt 120 pd
  linsex  :r :co1 :co2
    pu rt -120 fd -:r pd
  rt 60]
end

cs
ht
kreis.linsen 100 3 1 6
;linsex 100 3 1
Kreis mit Linsen

Kreis mit Linsen


Wie gehen Sie vor, wenn Sie das LOGO-Programm im mittleren Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

Zum Kapitel 3.1: "Einander schneidende Kreise"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Quadrat mit Viertelkreisen (S. 62)

Quadrat mit Viertelkreisen


Quadrat mit Viertelkreisen

Quadrat mit Viertelkreisen, Kreisbögen teilweise umgekehrt


Quadrat mit Viertelkreisen, Kreisbögen teilweise umgekehrt


Quadrat mit Viertelkreisen, Kreisbögen teilweise umgekehrt


Wenn man Teile der Kreisbögen umdreht, ergeben sich auch reizvolle Muster.

Quadrat mit Viertelkreisen

Quadrat mit Viertelkreisen, Bogen 90°


Quadrat mit Viertelkreisen, Bogen 60°


Quadrat mit Viertelkreisen, Bogen 30°


Hier wurden die Bögen unterschiedlich stark gekrümmt (90°, 60°, 30°).

Zum Kapitel 3.2: "Yin und Yang"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Yin und Yang (S. 67)

Kreise in Kreisen sind ein faszinierendes Thema.

Die Kreise innen können ihrerseits auf verschiedene Weise gefüllt werden.

Eine Möglichkeit besteht darin, sie wiederum mit Kreisen oder Yin und Yang zu füllen (Strick S. 67).

Weitere Möglichkeiten bestehen darin, sie mit Kreis-Aufteilungen oder mit Fischblasen zu füllen.

Kreis mit Yin und Yang

Wie könnten die Kreise sonst noch gefüllt werden?

Betreutes Kreativ-Sein

Finden Sie 3/5/10 weitere Muster zum Füllen der Kreise!
Wenn Sie keine Ideen mehr haben, suchen Sie im Internet nach Bildern mit den Suchbegriffen "Kreise Muster", "circles patterns" o.Ä. Beispiele:

  • n-Ecke
  • Sterne
  • Sterne im Kreis
  • Konzentrische Kreise
  • Dezentrierte Kreise
  • Kreisbögen
  • Mandalas
  • Blumen-Muster
  • gestreift
  • gedrehte n-Ecke
  • Spirale
  • n-Eck-Fraktale
  • Epizykloide
Kreis mit 3- bis 7schweifigen Fischblasen

Kreis mit 3-schweifigen Fischblasen


Kreis mit 4-schweifigen Fischblasen


Kreis mit 3- bis 7schweifigen Fischblasen




Zum Kapitel 8: "Fußball-Bundesliga, Umfüllprobleme und Ganzzahl-Billard"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Die Lösung von Umfüllproblemen über eine Art Billard-Grafik hat Charme und ist systematisch.

Wie lässt sich das Kapitel erweitern?

1.) Eine wichtige Lehre daraus für konkrete Umfüllaufgaben in zahlreichen Denksport-Büchern bzw. Denksport-Seiten kommt nicht klar heraus: Es gibt immer zwei Lösungen, wobei eine für gewöhnlich langwieriger ist als die andere. Bei logic-weekly.de, spiegel.de, denksport-rätsel.de wird aber jeweils nur 1 Lösung präsentiert.

2.) Gibt es mehr als 2 Lösungen?

Angenommen, es sei beim klassischen Umfüllsetting das Ziel, 2 Liter abzumessen. Dann gibt es genau 2 stringente Lösungen, wobei bei der ersten mit dem 5-L-Gefäß angefangen wird, bei der zweiten mit dem 3-L-Gefäß. Wenn man allerdings die jeweils erste Lösungskonstellation "verschläft", dann gibt es in der Tat mehr als 2 Lösungen.
Das gleiche gilt, wenn Fehler gemacht werden, d.h. wenn man die Billardkugel wieder zurücklaufen lässt.

3.) Strick behandelt folgende Umfüllprobleme:
  1. volles 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 x 4 L
  2. volles 8-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 5 L (S. 212)
  3. volles 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 1 L (S. 213)
  4. 10-L-Gefäß mit 6 L, volles 6-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 3 L, 4 L, 5 L gleichzeitig in den Gefäßen (S. 213)
  5. volles 24-L-Gefäß, leeres 13-L-Gefäß, leeres 11-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 1 L (S. 213)


Folgende weitere Umfüllaufgaben bieten sich an, die man mit dem Billard-System lösen kann:
  1. leeres 4-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 L ( www.inf-schule.de)
  2. leeres 9-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, Ziel: 3 L
  3. leeres 7-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, Ziel: 5 L
  4. volles 10-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, leeres 3-L-Gefäß, Ziel: 2 x 5 L (simplifiedways.blogspot)
  5. volles 16-L-Gefäß, leeres 9-L-Gefäß, leeres 7-L-Gefäß, Ziel: 2 x 8 L
  6. volles 12-L-Gefäß, leeres 8-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 6 L (watson.ch)
  7. Wasserhahn, leeres 9-L-Gefäß, leeres 4-L-Gefäß, Ziel: 6 L (spiegel.de vom 5.5.2018)
4.) Es ist extrem unpraktisch und ungewohnt, mit einem Dreiecks-Blatt zu arbeiten. Es ist wesentlich einfacher, ein verschobenes Dreiecksblatt zu verwenden, d.h. ein normales, überall vorhandenes kariertes Blatt, bei dem man mit Diagonalen arbeitet. (Vgl. Boergens: Umfüllprobleme) Dabei gilt zwar bedauerlicherweise das schöne Prinzip "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel nicht", aber dafür kann man mit normalem Papier arbeiten!

5.) Das Billard-Verfahren nützt einem überhaupt nichts, wenn man eine mehrdimensionale Umfüll-Aufgabe wie diese lösen möchte:

volles 24-L-Gefäß, leeres 13-L-Gefäß, leeres 11-L-Gefäß, leeres 5-L-Gefäß, Ziel: 3 x 8 L.

Oder wie könnte man den Billard-Tisch drei-dimensional gestalten?


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
6.) Man kann das Umfüllen komplett durchlösen, also nicht abbrechen, sobald man die Zielkonstellation erreicht hat. Für die Billard-Lösung bedeutet das, dass man die Kugel komplett über den Tisch laufen lässt, bis sie ihren Ausgangspunkt wieder erreicht hat. Das muss zweimal geschehen: Beim ersten Mal fängt man mit dem mittleren Gefäß an, beim zweiten Mal mit dem kleinsten Gefäß.

An der Komplett-Tabelle kann man ablesen, welche Ziel-Konstellationen überhaupt möglich sind, bzw. welche unmöglich sind.

So sind im Fall des klassischen Umfüllproblems die Konstellationen 2 x 1 Liter, 1 Liter und 6 Liter, 2 x 2 Liter und 2 Liter und 4 Liter unmöglich.
Strick liegt also falsch, wenn er schreibt: "Auch jede andere Aufteilung des Weinvorrats kann durch Umfüllen erfolgen (...)" S. 212

7.) Kann man auch vom Zielpunkt ausgehen?
Das kann man machen. Voraussetzung ist natürlich, dass man die richtigen Laufrichtungen der "Billardkugel" kennt.

8. Sollte man zur Lösung immer mit dem kleinsten Gefäß anfangen?
Nein. Dies kann mal zur schnelleren Lösung führen, mal zur langsameren. Bsp. Bei der klassischen Konstellation führt der Start mit dem 3-L-Gefäß zu einer schnelleren Lösung beim Ziel 7 L, aber zu einer langsameren Lösung beim Ziel 4 L.

9.) Man kann die Lösung werten, indem man die Anzahl von Umschüttungen vergleicht. Gibt es noch alternative Bewertungs-Kriterien?

Ja. Man könnte als Kriterium die Anzahl bewegter Liter heranziehen. Bei der Billard-Lösung entspricht das der von der Kugel zurückgelegten Strecke.

10.) Sind Aufgaben wie "leeres 0,4-L-Gefäß, leeres 0,1-L-Gefäß, Ziel: 2 x 0,6 L" etwas Besonderes?

Nein. Entscheidend sind die Relationen zwischen den Gefäßgrößen. Diese Aufgabe kann man durch "Erweitern" mit dem Faktor 10 transformieren in "leeres 4-L-Gefäß, leeres 1-L-Gefäß, Ziel: 2 x 6 L".
Zum Kapitel 8.3: "Ein Billardspiel auf einem rechteckigem Tisch mit ganzzahligen Seitenlängen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Bei Strick werden auf 5 Seiten nur einfache rechteckige Billardtische behandelt, auf denen ausschließlich 45°-Schüsse abgegeben werden.

Dies kann und sollte erweitert werden, da es sonst schnell zu langweilig wird.

1. In Moscovich Buch "Über 500 Brain Games" bringt er in den Aufgaben 396 bis 399 Aufgaben, in denen es auf das Ziel ankommt, und der nötige Abschusswinkel nicht vorgegeben, sondern berechnet wird. Außerdem liegen auf zwei Billard-Tischen Rechtecke als Hindernisse. Dadurch werden die Aufgaben zwar nicht realistisch, aber herausfordernd und spannend.

2.) Es ist einfach, eigene, spannende Billard-Aufgaben zu konstruieren.


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
3.) Die Kugel startet bei Punkt A ("Anfang"). Ziele können E1 bis En sein. Kann man die Ziele erreichen und, wenn ja, wie? Die Aufgaben kann man (wie bei Moscovich) auch noch spezifizieren, indem Zusatzbedingungen angegeben werden (z.B.: Wie viele Banden sollen berührt werden? Wie oft soll die Kugel abprallen, bevor sie ins Ziel geht?)

Billard-AufgabeBillard-Aufgabe

Billard-AufgabeBillard-Aufgabe

Billard-Aufgabe

Zum Kapitel 8.3: "Ein Billardspiel auf einem rechteckigem Tisch mit ganzzahligen Seitenlängen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Kreisförmiger Billardtisch, S. 221

"Untersuchen Sie den Weg einer Billardkugel auf einem kreisförmigen Billardtisch: Die Kugel werde von einem festen Randpunkt P aus angestoßen und soll irgendwann wieder an diesem Punkt ankommen."


In den Lösungen heißt es: "Demnach sind ideale Billard-Bahnen möglich, wenn der Weg der Billardkugel längs der Umfangslinie eines regelmäßigen Vielecks verläuft oder der Weg der Billardkugel längs der Linien eines "echten" regelmäßigen n-zackigen Sterns verläuft."

Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch

Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch

Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Kreisförmiger Billardtisch

Diese Lösung ist unvollständig - jedenfalls wenn man regelmäßige n-zackige Sterne eng definiert wie z.B. bei Strick oder bei Wikipedia.

Es fehlt der Sonderfall, dass man die Kugel in einem Winkel von 90° gegenüber der Horizontalen anstoßen kann, so dass die Kugel durch den Kreismittelpunkt rollt, auf der gegenüberliegenden Seite ankommt und auf dem gleichen Weg wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch


Eine weitere Lösung liegt möglicherweise darin, dass die Kugel am Tischrand entlanggerollt wird, so dass sie einen kreisförmigen Weg zurücklegt. Dabei kommen natürlich neben dem Luftwiderstand und dem Widerstand der Tischbodens noch der Widerstand der Bande hinzu. Aber - wir befinden uns ja im Wolkenkuckucksheim der Unterhaltungsmathematik, wo die Gesetze der Physik bei Bedarf ein Stück weit außer Kraft gesetzt werden dürfen.
Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch


Zum Kapitel 8.3: "Ein Billardspiel auf einem rechteckigem Tisch mit ganzzahligen Seitenlängen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Kreisförmiger Billardtisch mit Innenkreis

Etwas komplizierter wird es, wenn sich im Inneren des runden Billard-Tisches noch ein kreisrundes Hindernis befindet.


Runder Billard-Tisch mit kreisrundem Hindernis in der Mitte
Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Kreisförmiger Billardtisch mit Innenkreis

Die Lösungen bleiben gleich wie oben, wenn der Innenkreis die Kugel nicht stört.

Rückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem BillardtischRückkehr zum Ausgangspunkt auf kreisförmigem Billardtisch


Interessant wird es, wenn die Kugel gegen den Hindernis-Kreis prallt.

Anders als in der Strick-Aufgabe sind die Winkel je nach Größe des Innenkreises unterschiedlich, d.h. es gibt bei feststehender Zahl der Spitzen unendlich viele Lösungen.

Runder Billard-Tisch mit kreisrundem Hindernis: Abprallen vom Innenkreis, so dass die Kugel zum Ausgangspunkt zurückkehrtRunder Billard-Tisch mit kreisrundem Hindernis: Abprallen vom Innenkreis, so dass die Kugel zum Ausgangspunkt zurückkehrt


Runder Billard-Tisch mit kreisrundem Hindernis: Abprallen vom Innenkreis, so dass die Kugel zum Ausgangspunkt zurückkehrt


Hierbei kann es auch Lösungen weiterer Ordnungen geben, wenn die Kugel z.B. von Punkt 1 kommend auf den Innenkreis prallt und weiter zu Punkt 3 läuft.
Zum Kapitel 8.3: "Ein Billardspiel auf einem rechteckigem Tisch mit ganzzahligen Seitenlängen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Billardtische unterschiedlicher Formen

Billard-Tische unterschiedlicher Formen stellen eine neue Herausforderung dar.


Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Billard-Tische aus diversen Kreisbögen


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Billardtische unterschiedlicher Formen

Auf den Tischen können noch Hindernisse angebracht werden.

Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Billard-Tische aus diversen Kreisbögen Ovaler Billard-Tisch


Kugelbahnen können a) durch Nachdenken oder b) empirisch durch Ausprobieren nach Programmierung einer Billard-Simulation z.B. mit MIT-App-Inventor ermittelt werden.



Wurfstern - Ninja Star (S. 224 oben)

Wurfstern - Ninja Star


Für Wurfsterne gilt:

  1. Auf jeder der 3 Seiten befindet sich ein S-förmiger Bogen. Es können aber auch mehrere "S"-Bögen sein.
  2. Die Wurfsterne können rechts- oder linksdrehend sein.
  3. Der Winkel des Bogens beträgt bei Strick 120°. Es sind jedoch beliebige Winkel möglich. Hauptsache, sie sind bei allen Bögen gleich.
  4. Statt Kreisbögen eignen sich ebenso gut eckige S-Formen. (Vgl. Gosper-Kurve)


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Wurfstern - Ninja Star

Wurfstern - Ninja Star
Wurfstern - Ninja Star: Doppel-S

Wurfstern - Ninja Star mit Doppel-S


Wurfstern - Ninja Star - eckig

Wurfstern - Ninja Star - eckig


Wurfstern - Ninja Star - linksdrehend

Wurfstern - Ninja Star - linksdrehend
Wurfstern - Ninja Star: 60° statt 120°

Wurfstern - Ninja Star: 60° statt 120°


Zum Kapitel 9.1: "Muster aus Kreisen und Kreisbögen"
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019



Hintereinanderliegende Kugeln (S. 225)

"Diese Anordnung erzeugt in unserem Gehirn den Eindruck von hintereinanderliegende Kugeln.", schreibt Strick.

Was der Betrachter mit den Gebilden assoziiert, ist wohl eher intersubjektiv unterschiedlich. Das Gebilde ist auslegungsfähig wie die Gebilde in projektiven Tests. Man kann ebensogut an Schuppen, Schindeln, Gingko-Blätter oder sonst etwas erinnert werden.

Man kann diese "Schindeln" sehr schön parkettieren, wenn man sie nicht - wie Strick - alle in die gleiche Richtung zeigen lässt, sondern a) sie um 45° dreht, b) die zweite "Schindel" um 90° dreht.

Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Schindeln bei Strick

Schindeln bei Strick


Schindeln: 45°

Schindeln bei Strick


Es gibt 2 verschiedene Arten von Parkettieren, überlappendes und nicht-überlappendes Parkettieren.

  1. Nicht-überlappendes Parkettieren

    Dabei wird mit den kleinsten Elementen (Kacheln, Teilen) gearbeitet. Dies wird praktiziert von Fliesen-, Platten-, Mosaiklegern, Intarsien-Schneidern. Es ist zu finden bei Papp- und Holzpuzzlen.


  2. Überlappendes Parkettieren

    Hier wird mit Elementen gearbeitet, die größer sind als die nachher sichtbaren Einzelteile. Damit hat man es zu tun bei Dachziegeln/Schindeln, bei Tierschuppen (Schuppentiere, Fische, Schmetterlinge, Federn von Vögeln etc.), bei künstlerischen Collagen mit Papier.

    Bei der grafischen Programmierung kann man unterscheiden zwischen transparenten, halbtransparenten (eventuell tolle Farbeffekte wg. der Mischung) und intransparenten Überlappungen. Bei nicht-transparenten Überlappungen spielt die Überlappungs-Richtung eine große Rolle.

    Programmiertes Parkettieren gehört zum virtuellen Parkettieren, während Handwerker es mit realem, echtem Parkettieren zu tun haben.

    Ein Merkmal (Nachteil?) des überlappenden Parkettierens besteht darin, dass ein Teil der Bild-Ränder anders aussieht als der Rest, weil dort die zugrundeliegenden Figuren sichtbar werden. So eignet sich überlappendes Parkettieren nur bei Transparenz, wenn man eine Fläche n-Mal um einen Punkt kreisen lässt, nicht jedoch bei Nicht-Transparenz.
Beim virtuellen Parkettieren wie auf dieser Seite hat der Programmierer die Wahl zwischen überlappendem oder nicht-überlappendem Parkettieren.
Schindeln: 0 und 90°

Schindeln: 0 und 90°


Wenn man das gleiche Muster um 45° dreht, wirkt es nicht so spektakulär.

Schindeln: um 45° gedreht
Schindeln mit je 1 Kreisbogen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt

Schindeln: um 90° gedreht zusammengefügt
Schindeln mit je 1 Kreisbogen: anders eingefärbt

Schindeln: um 90° gedreht zusammengefügt anders eingefärbt


Ähnliche Kachel mit je 2 Kreisbögen (S. 227 oben)

Kachel mit je 2 Kreisbögen
Oben befinden sich 2x2 konvexe Kreisbögen, unten 2x2 konkave Kreisbögen.

Strick macht daraus ein Parkett, bei dem die Kacheln wieder alle gleichgerichtet sind.

Schauen wir stattdessen, wie man das Muster systematisch variieren kann.

Es gibt zumindest 2 Verfahren, wie man unterschiedliche Parkettierungen erzeugen kann:
  1. Nachdenken, welche Seite einer Kachel mit welchen Seiten einer zweiten Kachel zusammenpasst.
  2. Empirisch-praktisches Trial-and-Error-Verfahren mit aus Papier ausgeschnittenen Kacheln


  • Man kann n Kreisbögen hintereinandersetzen, also statt 1 oder 2 auch 3, 4 oder mehr.
  • Man kann die Kacheln nicht nur auf die von Strick gezeigte, sondern auf verschiedene Weise aneinanderfügen und zum Parkettieren nutzen.
Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt

Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt
Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt

Schindeln mit je 2 Kreisbögen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt


Würde man das gleiche Muster um 45° drehen, wäre es weniger interessant.



Ähnliche Kachel mit je 3 Kreisbögen

Oben befinden sich 2x3 konvexe Kreisbögen, unten 2x3 konkave Kreisbögen.

Man kann die Kacheln auf verschiedene Weise aneinanderfügen und zum Parkettieren nutzen.
Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt

Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 2 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt
Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 4 Kacheln um 90° gedreht zusammengefügt

Schindeln mit je 3 Kreisbögen: 4 Kacheln im Winkel von 90° zusammengefügt
Weiterführende Ideen

Schindel mit je 4 Kreisbögen
Schindel mit je 4 Kreisbögen

Zwischen-Objekt zum Parkettieren

Zwischen-Objekt zum Parkettieren
Oder lassen Sie die Schindeln doch von links oben nach rechts unten laufen!
Zwischen-Objekt zum Parkettieren
Hier können natürlich auch Kacheln mit n Kreisbögen pro Seite eingesetzt werden.
Andere Bogen-Winkel

Die Bogenwinkel können beliebig gewählt werden. Entscheidend für die Parkettierung ist, dass die gegenüberliegenden Seiten einer Kachel sich jeweils ergänzen (hier: die gleiche Krümmung haben).

Zwischen-Objekt zum Parkettieren: Andere Bogen-Winkel
Fliesen mit Kreisbögen/Dreiecken in der islamischen Ornamentik

Strick, S. 228f.

Fliesen mit Kreisbögen in der islamischen Ornamentik
Fliesen mit Kreisbögen in der islamischen Ornamentik


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente

Die "islamischen Fliesen" haben u.a. folgende Merkmale:
  1. Sie kommen aus dem islamischen Kulturraum
  2. Die Formen werden mehrmals wiederholt, so dass ein Innenmuster entsteht
  3. Auf die Ausgangsquadrate werden Kreisbögen bzw. Dreiecke aufgesetzt
  4. Durch das Procedere werden 2 verschiedene Fliesen erzeugt, die sich zusammen zur Parkettierung der Ebene eignen.
Strick interessiert sich besonders für Merkmal 3, weil das das Thema seines Kapitels ist.

Noch interessanter ist m.E. der Punkt 4. Bisher suchte man immer nach einer einzigen Fliese, die sich zum Parkettieren der Ebene eignet. Hier wird nebenbei eine weitere, sehr interessante Technik zum Erstellen von Fliesen zur Parkettierung angedeutet. Das Vorgehen ist folgendermaßen:
  1. Quadratische Fliesen werden schachbrettartig parkettiert, also so, dass zwischen den Fliesen nach rechts und unten jeweils eine Fliese Abstand ist.
  2. Auf die quadratischen Fliesen werden auf jeder Seite Kreisbögen (oder Dreiecke) aufgesetzt, so dass eine größere Fliese entsteht.
  3. Bei der quadratischen Parkettierung entstehen jetzt jeweils "Löcher", (die um die Aufsätze kleiner sind als das Quadrat), deren Form das Komplement der Ausgangsform ist. (In den Abbildungen jeweils in der Mitte von 4 Ausgangsfliesen)
  4. Die Ausgangsfliesen und die Komplementfliesen können noch beliebig verziert werden, z.B. durch verkleinerte Wiederholungen der Hauptform.
Nachteile sind:
  • Man braucht statt 1 Fliesen-Form jetzt 2 verschiedene Fliesen-Formen.
  • Der Umgang mit solchen Fliesen-Formen dürfte im realen Leben nicht gerade einfach sein.
  • Für die Aufsätze auf die quadratischen Fliesen steht pro Seite nur eine kleine Fläche von maximal 1/4 des Quadrats zur Verfügung.
Vorteile sind:
  • Die Ausgangskachel bringt häufig überraschend interessante Komplemente hervor, an die man bei der Komposition der Ausgangskachel nicht im Traum gedacht hat. Das Verfahren ist also quasi sekundär-kreativ.


Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente


Aufgabe: Entwerfen Sie weitere 2/5/10 solcher Fliesen!
Wenn Sie besonders schöne Formen gefunden haben, suchen Sie nach Verzierungen für die Innenräume von Ausgangs- und Komplementfliese!
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente

Zum Aufsetzen eignen sich keinesfalls nur Rundbögen oder Dreiecke, sondern alle möglichen Formen.
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Die auf das Quadrat aufgesetzten Teile müssen nicht zwangsläufig zentriert sein.

Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Teile können aufgesetzt werden, aber es können auch Teile aus der Ausgangsform ausgeschnitten werden.

Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Es können sich auch mehr als 1 Komplement-Fliese ergeben.
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente - mehr als 1 Komplement-Fliese
Als Grundseite eignen sich auch Kurven, die aus der Fraktalistik stammen.

Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Wenn man beide Fliesen als Quadrate schneidet, fällt der Nachteil des unpraktischen Umgangs flach. Es geht aber auch der besondere Zauber der beiden Fliesen verloren.
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente als Quadrate geschnitten
Für das Verfahren eignen sich nicht nur Quadrate, sondern zumindest auch Dreiecke und Sechsecke.

Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Fliesen mit aufgesetzten Kreisbögen/Dreiecken und ihre Komplemente
Fischblasen - Kapitel 9.2, S. 233f.
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Im Buch werden dreischweifige und vierschweifige Fischblasen im Rahmen von gotischen Maßwerkfenstern vorgestellt.
Strick weist nicht darauf hin, dass Yin und Yang (im gleichen Buch, S. 66f.) auch Fischblasen sind, nämlich zweischweifige.


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Fischblasen

Mit diesem Programm in jslogo kann man beliebige Fischblasen im Kreis zeichnen. Als Parameter stehen zur Verfügung:
  • Kreisgröße
  • Anzahl Fischblasen
  • Rechts- oder linksdrehend
to fischblasen.en.eck :s :eck :dir
; in Farbe ====================
  ; Kreise im Kreis
  ; s = der Radius des Umkreises
  ; r der Radius der (gelben) Kreise. Diese Kreise bilden die Kette.
  ; eck = Anzahl Blasen
  ; dir = Richtung der Blasen (1 oder -1)
  setpc 0
  make "si (sin 360/:eck/2)
  make "r :s*:si/(1+:si)
  make "y :s-2*:r
  make "a (sqrt(((:r+:y))^2)-(:r^2))
  make "x ((:s-:a)^2)/(2*:r+2*(:s-:a))
   ; n Sektoren ============================
  lt 360/:eck/2
  repeat :eck[
    filled remainder (repcount-1) 15 [ fd :s bk :s
      arc 360/:eck :s ]
  rt 360/:eck/1]
  rt 360/:eck/2
  ; Mittelfeld ================================
        filled (list 90 90 90) [
      arc 360 :r/(tan 360/:eck/2)]
   ; Kreisringe ================================
  rt 360/:eck/2*:dir
    repeat :eck[
    pu fd :s bk :r pd
     setpc remainder (repcount-1) 15
        filled remainder (repcount-1) 15 [
      arc 360 :r]
    pu bk :s-:r pd
  rt 360/:eck]
  lt -360/:eck/2
    ; Großer UmKreis ============================
   setpc 0
    arc 360 :s
 end

cs
fischblasen.en.eck 100 10 -1 
Fischblasen

Yin und Yang

Yin und Yang (2schweifige Fischblase


5schweifige Fischblase

5schwänzige Fischblase


10schweifige Fischblase

10schweifige Fischblase
 
Magische Sterne - Weitere magische Figuren - Kapitel 10.5, S. 268-271
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Im Buch werden magische Sterne mit 5, 6, 7, 8 Zacken vorgestellt. Sterne sind magisch, wenn auf ihre Spitzen und die Schnittpunkte ihrer Verbindungslinien Zahlen so verteilt werden, dass die Summen pro Verbindungslinie gleich sind. Strick deutet an, wie die magische Summe ermittelt werden kann:
Summe aller Zahlen im Stern*2/Anzahl Zacken

Um geometrische Sterne zu kategorisieren, ist das Schläfli-Symbol sinnvoll; es gibt an, wie viele Zacken der Stern hat und die wievielten Zacken miteinander verbunden werden. Wäre Strick darauf eingegangen, hätte sich herausgestellt, dass er nur Sterne 2. Ordnung behandelt, also Sterne, bei denen jede 2. Spitze miteinander verbunden wird. Es ist jedoch auch sinnvoll zu versuchen, magische Sterne höherer Ordnung zu erzeugen.

Strick stellt zwar die Aufgabe, eigene magische Zahlenverteilungen zu finden, gibt jedoch keinerlei Hinweise, wie man dabei vorgehen kann. Er schreibt: "Suchen Sie für das Hexagramm, für das Heptagramm und für das Oktagramm jeweils ein weiteres Beispiel für eine mögliche Beschriftung mit natürlichen Zahlen."

Nun ist das Wörtchen "suchen" mehrdeutig. Man könnte es so interpretieren, dass man in den Weiten des Internetzes danach fahnden soll. Eine solche Suche würde schon ein gut dressierter Halbaffe auf seinem Smartphone erfolgreich bewerkstelligen. Nehmen wir mal an, dass mit "suchen" "durch geistige Anstrengung erzeugen" gemeint ist.


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Magische Sterne {5/2}

Wie kann man vorgehen, um magische Zahlenverteilungen zu finden?
Aufgabe: Wie findet man eine Verteilung für den magischen Stern {5/2}, wenn klar ist, dass die zu verteilenden Zahlen 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12 sind? Die Summe der Zahlen von 1 bis 12 (ohne 7 und 11) ist 60. Diese setzen wir in die Formel zur Ermittlung der magischen Summe ein: Summe aller Zahlen im Stern*2/Anzahl Zacken = 60*2/5=24

Lösungen:

Verfahren 1: (Brute Force Methode) Ein Vorgehen wäre es, alle Zahlen systematisch zu variieren, also in den erstem Kreis nacheinander alle 10 Zahlen einzusetzen, in den nächsten Kreis nacheinander die jeweils übrigen 9 Zahlen einzusetzen, dann die jeweils übrigen 8 Zahlen usw. Bei diesem Verfahren müsste man 10! Konstellationen durchprobieren, also 3.628.800. Damit hätte ein Schiffbrüchiger auf einer einsamen Insel extrem lange zu tun.

Verfahren 2: Es wäre sinnvoll, eine solche Arbeit von einem Programm übernehmen zu lassen.

Verfahren 3: Teils programmiert, teils "zu Fuß". So könnte man von einem Programm alle 4er-Kombinationen mit Summe x herausfinden lassen. (Vgl. Programm und 4er-Kombinationen mit Summe 26 bei Étoile magique de David ou à six branches).

Verfahren 4: Man könnte mit "Basissternen" arbeiten, in denen nur die Zahlen 0 und 1 vorkommen und diese gewichtet addieren (vgl Graf und Preisler). Problem: Welche Einheitssterne und welche Gewichte sind zu addieren?

Verfahren 5: Man könnte sich den inneren und äußeren Ring getrennt vornehmen. Man wüsste jedoch nicht, welche Zahlen man für die beiden Ringe nehmen sollte.

Verfahren 6: Man könnte sich eine "Spange" aus zwei Geraden vornehmen. Man weiß, dass beide Geraden die magische Summe von 24 ergeben. Man kann schnell herausfinden, ob die übrig bleibenden 3 Zahlen so eingesetzt werden können, dass die noch fehlenden 3 Geraden auch jeweils eine Summe von 24 ergeben. Da man um mehr oder weniger langes Probieren nicht herumkommt, würde ich mich mit Papier, Bleistift und Radiergummi bewaffnen.

Verfahren 7: Sinnvoll ist es, in einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Art Spielfeld mit 5 Summenformeln zu konstruieren. Wenn man die gute Entscheidung getroffen hat, die extreme 12 an die Spitze zu setzen, findet man schnell heraus, dass es lediglich 5 prinzipielle Möglichkeiten gibt, die 2 Geraden mit der 12 zu ergänzen, so dass sich die magische Summe von 24 ergibt. Jetzt muss man noch untersuchen, welche dieser 5 Möglichkeiten sich zu einer Spange ergänzen, d.h. keine gleichen Zahlen enthalten. Das ist der Fall bei 9-2-1 und 5-4-3 einerseits (mit den Restzahlen 6,8,10) und 8-3-1 und 6-4-2 andererseits (mit den Restzahlen 5,9,10). Wenn man einige der 6 Konstellation für die jeweiligen Restzahlen eingibt, so findet man nach kürzester Zeit Lösungen wie diese:

Magischer Stern {5/2} mit magischer Konstante 24

Magic Star mit 5 Zacken 2. Ordnung mit magischer Konstante 24
Magische Sterne {5/2}

Aufgabe: Ist 24 die einzige elementare magische Summe fürs Pentagramm (5-Eck)?

Lösung: Nein. Mit den Komplementen funktioniert es ebenfalls, dann liegt die magische Summe bei 28. Siehe http://recmath.org/Magic%20Squares/order5.htm

Aufgabe: Finden Sie mit der obigen Strategie eine Lösung für ein Pentagramm mit magischer Summe 28!

Lösung:

Magischer Stern {5/2} mit magischer Konstante 28

Magic Star mit 5 Zacken 2. Ordnung mit magischer Konstante 28
 
Magischer Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel

Neben dem 5zackigen Stern gibt es 5 weitere Arten, 10 Kreise so anzuordnen, dass sie 5 Linien à 4 Kreisen bilden. Das hat schon der Denksport-Papst H. E. Dudenay herausgefunden (Amusements in Mathematics, S. 190f.)

Harvey Heinz hat diese Figuren hier und hier schon durch Zahlenbelegungen wie in den folgenden Blöcken magisch gemacht.

Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Magic Dart, Compasses, Funnel, Scissors, Nail

Aufgabe: Finden Sie magische Zahlenkonstellationen für Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel!

Lösung:



Magischer Pfeil mit magischer Konstante 24 Magischer Zirkel mit magischer Konstante 24 Magischer Trichter mit magischer Konstante 24

Magische Schere mit magischer Konstante 24 Magischer Nagel mit magischer Konstante 24

Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel
Magischer Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel



Magischer Pfeil mit magischer Konstante 24 Magischer Zirkel mit magischer Konstante 24 Magischer Trichter mit magischer Konstante 24

Magische Schere mit magischer Konstante 24 Magischer Nagel mit magischer Konstante 24

Magischer Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel mit magischer Konstante 24


Aufgabe: Lassen sich magische Zahlenkonstellationen von Sternen {5/2} mechanisch in magische Zahlenkonstellationen von Pfeil, Zirkel, Trichter, Schere und Nagel transformieren (wenn ja, wie)?

Aufgabe: Füllen Sie die 5 Figuren mit Zahlen, so dass sich die magische Summe 28 ergibt!

Magische Schere mit magischer Konstante 28

Magischer Trichter mit magischer Konstante 28
Super-Magic Stars

Definieren wir "super-magic stars" als solche, bei denen nicht nur die Geraden-Summen die gleiche Summe erbringen, sondern darüber hinaus noch weitere Formationen.

So könnte es z.B. magische Sterne {5/2} geben, bei denen der äußere oder der innere Ring zusätzlich auch noch die magische Summe ergibt.

Strick weist nicht darauf hin, dass zwei seiner Sterne supermagisch sind:
  • Sein Stern {6/2} hat außen einen Ring, der sich auch auf 26 addiert.
  • Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Konstante 24 und mit magischer Außenring-Summe

    Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Außenring-Summe


  • Bei seinem Stern {8/2} addieren sich die Ecken der beiden Quadrate jeweils auch auf 34 auf. Im Innenring addieren sich jeweils zwei gegenüberliegende Seiten auf 34 auf. Es ist also ein super-super-magischer Stern.
  • Supermagischer Stern {8/2} mit magischer Konstante 24 und mit 2 magischen Außenring-Summen

    Supermagischer Stern {8/2} mit diversen magischen Summen




Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Super-Magic Stars

Aufgabe: Finden Sie mindestens 1 supermagische Zahlenkonstellation für Sterne {5/2}!

Stern {5/2}

Lösung:

Supermagischer Stern {5/2} mit magischer Konstante 24 und mit magischer Außenring-Summe

Supermagischer Stern {5/2} mit magischer Außenring-Summe


Aufgabe:Harvey Heinz weist in seiner Tabelle keinen supermagischen Stern {5/2} mit magischer Innenring-Summe aus. Gibt es keinen solchen?

Lösung:

Supermagischer Stern {5/2} mit magischer Konstante 24 und mit magischer Innenring-Summe

Supermagischer Stern {5/2} mit magischer Innenring-Summe


Harvey Heinz hat diesen Stern in seiner Liste - ihn offenbar jedoch nicht als supermagisch erkannt. Da er 2013 gestorben ist, kann man ihn nicht mehr darauf hinweisen.

Können beide Ringe gleichzeitig magisch sein?

Gibt es super-magische Zahlenkonstellationen von Sternen {5/2} für die magische Summe 28?
Super-Magic Stars

Aufgabe: Finden Sie mindestens 1 supermagische Zahlenkonstellation für Sterne {6/2}!

Harvey Heinz bietet eine vollständige Liste von magischen 6-Sternen mit magischen Außen- und Innen-Ringen (Magic Squares order 6).

Stern {6/2}

Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Außenring-Summe

Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Außenring-Summe


In einer Denksport-Aufgabe von warblow wird nach einem solchen supermagischen Stern {6/2} gesucht. In einem Beitrag für Jugend Forscht haben sich Graf und Preisler mit supermagischen Sternen auseinandergesetzt.

Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Innenring-Summe

Supermagischer Stern {6/2} mit magischer Innenring-Summe


Aufgabe: Suchen Sie supermagische Sterne mit 7 und mehr Zacken!
Magic Stars: Gesetzmäßigkeiten

Magische Sterne sind unterschiedlich je nach Art des Sterns.

Gemeinsam ist ihnen, wie man die magische Summe ermitteln kann:

Regel 1: Magische Summe= Summe aller Zahlen im Stern*2/Anzahl Zacken (siehe oben).

Regel 2: Eine Zahlenkonstellation bleibt magisch, wenn man - wie bei einer Gleichung - bei allen Elementen eine Zahl addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Daraus folgt:

Regel 2.1: Eine Figur bleibt magisch, wenn man jede Zahl durch "Größte Zahl +1 - Zahl" ersetzt (= jede Zahl mit (-1) multipliziert und eine Konstante (z.B. größte Zahl plus 1) hinzuaddiert).

Regel 2.2: Eine Zahlenkonstellation bleibt magisch, wenn man eine andere magische Zahlenkonstellation hinzuaddiert.

Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Wikipedia über Magic Stars

Aufgabe: Es gibt noch keine deutsche Wikipedia-Seite zum Thema "Magischer Stern".
  • Übersetzen Sie eine fremdsprachige Wikipedia-Seite und speichern Sie diese für die deutschsprachige Wikipedia.
  • Erweitern Sie die deutschsprachige Seite (wenn die Hüter der deutschen Wikipedia so gütig sind, das zuzulassen)!
In der englischen Wikipedia wird behauptet:
An n-pointed magic star is a star polygon with Schläfli symbol {n/2} in which numbers are placed at each of the n vertices and n intersections, such that the four numbers on each line sum to the same magic constant.

Auf Deutsch: Ein magischer Stern mit n Zacken ist ein Stern-Polygon mit dem Schläfli-Symbol {n/2}, in dem Zahlen an jeder der n Ecken und n Schnittpunkte so platziert werden, dass die 4 Zahlen in jeder Linie in Summe die gleiche magische Konstante ergeben.

Aufgabe: Ist diese Definition vollständig? Antwort: Nein. Es ist nicht sinnvoll, magische Zahlensterne auf Sterne zweiter Ordnung zu beschränken. Auch Sterne höherer Ordnung sollten betrachtet werden dürfen.
Auch Sterne mit weniger als 4 oder mehr als 4 Kreisen pro Reihe sollten in die Definition aufgenommen werden.

Aufgabe: Wie sollte man magische Zahlensterne besser definieren? Lösung: Alle Arten von Sternen, auf deren Spitzen und Schnittpunkten Zahlen so positioniert werden, dass sich auf allen Geraden (und eventuell zusätzlich in anderen Bereichen, z.B. Ringen) die gleichen Zahlensummen ergeben.

Etwas völlig anderes ist es, seinen Betrachtungsbereich festzulegen. Hier ist es natürlich legitim, sich aus irgendwelchen Gründen nur mit bestimmten magischen Sternen befassen zu wollen und mit anderen nicht.

Aufgabe: Finden Sie Beispiele für magische Zahlen-Sterne höherer Ordnung! Lösung: Viele Beispiele findet man auf den Seiten von Harvey Heinz. Achtung! Harvey Heinz hat das Schläfli-Symbol für Sterne nicht gekannt oder nicht angewandt. Aber er unterscheidet zwischen 7a und 7b-Sternen. 7b entspricht dem Schläfli-Symbol {7/2}. 9c entspricht dem Schläfli-Symbol {9/3} usw..

Aufgabe: Gibt es auch magische Sterne, bei denen a) mehr oder b) weniger als 4 Zahlen pro Linie summiert werden? Magic Star {7/3} mit 6 Zahlen pro Reihe

magischer Stern {7/3}

Magischer Stern {7/3} mit 1 Zahlen-Außenring und 2 Zahlen Innenringen


Quelle: Kenneth Kelsey: Magische Zahlenspiele, dtv 1983 [ISBN 3-423-10199-7], S. 24 zitiert in Mathematische Basteleien.

Stern {8/3}

Aufgabe: Gibt es zu diesem Stern {8/3} von Dudenay eine magische Zahlenbelegung?

Stern {8/3} mit 6 Zahlen pro Reihe

Aufgabe: Gibt es zu diesem Stern {8/3} eine magische Zahlenbelegung mit je 6 Zahlen pro Reihe?

Magic Star {7/3} mit 6 Zahlen pro Reihe

magischer Stern {4/2}magischer Stern {4/2}

Magischer Stern {4/2} mit 3 Zahlen pro Reihe


Spirale - Kapitel 12.2, S. 316
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Wenn man an ein Blatt mit den Maßen eines Blattes nach Din (42:29,7) spiralförmig jeweils halbierte Blätter hinzufügt und Kreisbögen über die Seiten schlägt, entsteht eine Art Spirale.
Spirale aus Din-Blättern im Buch Mathematik ist wunderwunderschön von Strick

Spirale aus Din-Blättern im Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" von Strick


Diese Spirale hat den Nachteil, dass sie rel. eckig aussieht. Das liegt daran, dass vermutlich ein Winkel von 2*arctan 297/420 = 70.53 zugrundegelegt worden ist.

Runder sieht die Spirale aus bei einem etwas größeren Winkel.

Spirale aus Din-Blättern mit Kreisbögen im Winkel von 85°

Spirale aus Din-Blättern mit Kreisbögen im Winkel von 85°


Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Spirale aus Din-Blättern mit Kreisbögen im Winkel von 85°

Eckige Spirale aus Diagonalen von Din-Blättern bei Strick


Über diese Diagonalen kann man ebenfalls Kreisbögen legen und damit die Spirale abrunden.

Spirale aus Din-Blättern mit Kreisbögen im Winkel von 85°

Spirale aus Kreisbögen über Diagonalen von Din-Blättern im Winkel von 80°
Klothoide Teil 1 - Kapitel 12.3, S. 321-323
"Mathematik ist wunderwunderschön" von Heinz Klaus Strick, 1. Aufl. 2019

Im Buch wird erklärt, wie verschiedene Klothoiden erzeugt werden können und 7 dieser Klothoiden werden abgebildet. Hieran lässt sich zunächst Folgendes verbessern:
  1. Die Bilder der Klothoiden erinnern an Pixelgrafiken aus der Steinzeit der Datenverarbeitung; die Klothoiden wirken eckig.
  2. Die Erklärung des Drehmechanismus bei Klothoiden ist nicht anschaulich genug für Dummies.
  3. Es wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
  4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet:
    • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
    • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene und wenn ja, worin unterscheiden sie sich?
    • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen?
    • Müssen die "Tornados" zwangsläufig linksdrehend sein?
  5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 "Wollknäueln" sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?



Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Klothoiden im Buch Mathematik ist wunderwunderschön von Strick

Klothoiden im Buch "Mathematik ist wunderwunderschön" von Strick
Klothoiden im Buch Mathematik ist wunderwunderschön von Strick

 
Klothoide Teil 2 - Ergänzung, Verbesserung, Weiterentwicklung

Ich versuche, diese Punkte Schritt für Schritt abzuarbeiten:
  1. Im Netz habe ich nicht gefunden, wie man eckige Klothoide glätten kann.
    Die Lösung liegt darin, dass man den jeweiligen Winkel über einen Faktor verkleinert und gleichzeitig die Anzahl der Wiederholungen vergrößert. (Dazu genaueres bei den folgenden Punkten)
  2. Den Drehmechanismus bei Klothoiden kann man folgendermaßen anschaulich nachvollziehen:
    Einfache Klothoide, bei der die Änderung der Richtung nach jedem Schritt vorwärts 90°, 180°, 270°, 360° beträgt.
    Man nehme ein Geo-Dreieck und Bleistift. Man zeichnet jeweils Linien von z.B. 5 cm. Die erste Linie wird senkrecht abgetragen. An deren Ende dreht man das Geo-Dreieck um 90 Grad und zeichnet wieder eine Linie von 5 cm. Dann hat man einen Haken nach rechts gezeichnet. Am Ende dreht man das Geo-Dreieck um 180° mit Linie, dann wieder um 90° mehr, also 270° usw. Die Drehung um 180° bewirkt, dass man auf derselben Strecke wieder zurückzeichnet, bis man zurück an den Ausgangspunkt gelangt. Die Drehung um 360° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 0°, also überhaupt keine Drehung. Die Drehung um 450° hat den gleichen Effekt wie eine Drehung um 90°. 540° entspricht 540°-360°=180°. Nach 8 Schritten hat man einen eckigen Haken gezeichnet und ist wieder am Ausgangspunkt angelangt. Dies ist die simpelste Klothoide; sie ist symmetrisch, hat zwei (hier nur angedeutete) Pole.
    Besser deuten sich die beiden Eindrehungen an, wenn man Haken mit 3 Linien zu jeder Seite und Winkeln zeichnet, die sich jeweils um 60° erhöhen. Noch deutlicher wird es bei Klothoiden mit 4 Linien zu jeder Seite und Winkel-Inkrementen (Erhöhung, Zuwachs) von 45°. Wenn man die Winkel verkleinert und die Anzahl Linien erhöht, kommen "richtige" Klothoide dabei heraus. Diese sind zunächst noch eckig, werden aber mit abnehmenden Winkel immer glatter und feiner. Jetzt sollte die Entstehung von zweipoligen Klothoiden anschaulich genug erklärt worden sein.

    Wie funktioniert aber der Dreh-Mechanismus bei Klothoiden mit mehr als 2 Zentren? Suchen wir uns dafür eine besonders elementare Klothoide mit wenigen Linien. Nehmen wir einen Inkrement-Winkel von 180 Grad. Wir addieren jedoch jeweils noch eine Konstante von 45°. Die Winkel entwickeln sich also folgendermaßen: 45+180=225 / 45+2*180=405, netto 45 / 45+3*180=netto 225 / 45+4*180=netto 45 usw.
    Die entscheidenden Unterschiede zu der zweiköpfigen Klothoide: Man kommt nach 8 Winkelzügen wieder an den Ausgangspunkt zurück, hat aber 4 Spitzen durchlaufen. Die 4 Ecken entwickeln sich erst bei kleineren Winkeln zu regelrechten Tornados.
    Das wird schon deutlicher, wenn man als Konstante 30 und Inkrement-Winkel 120 nimmt. Dann braucht man 4x3=12 Linien, um wieder an den Ausgangspunkt zu kommen; die Tornados sind schon durch einen Haken angedeutet. Ganz deutlich wird das bei einer Konstante 15 und Inkrement-Winkel 60 und 4x6 Linien.
    Allmählich wird es allerdings Sklavenarbeit, diese vielen Strecken und Winkel mit Bleistift und Geodreieck nachzuvollziehen. Diese Sklavenarbeit sollte man schon einem Programm mit vielen Schleifen überlassen.
    Ähnlich funktionieren die anderen Klothoide auch: Die Strecke dreht sich zum Zentrum, dreht sich wieder aus dem Zentrum heraus, aber in einem anderen Winkel. Mehrere solcher Tornados mit Eingangs- und Ausgangslinie werden zu einer kompletten Klothoide zusammengesetzt.
  3. Bei Strick wird nicht gesagt, wie man konkret die Grafiken erzeugen kann: Etwa mit Geo-Dreieck und Filzstift?
    Geodreieck und Stift mögen genügen für supereinfache, rudimentäre Klothoiden-Ansätze. Sobald jedoch zu viele Linien gezeichnet werden müssen und die Winkel zu fein werden, kann diese Aufgabe nur noch von einem Programm erledigt werden.
    Dafür bietet sich ein LOGO-Programm an. Welchen LOGO-Dialekt man wählt, ist wohl eher Geschmackssache. Ich habe JSLOGO ausgewählt, weil man dafür nichts zu installieren braucht, keine Kosten entstehen, keine Anmeldung vonnöten ist etc.
    Ein einfaches LOGO Programme für Klothoide findet man auf der Klothoiden-Seite der englischen WIKIPEDIA:
    rt 90
    repeat 720 [ fd 10 lt repcount ]
    Bestechend daran ist, dass man mit extrem wenig Code ein beeindruckendes Ergebnis erzeugen kann. Nachteile sind, dass man nicht erfährt, wie man die Variablen verändern muss, um andere Ergebnisse zu erhalten, dass für besondere Klothoide ein so simples Programm nicht ausreichend ist.
    Ein leistungsfähigeres Programm findet man, das als Ergebnis eines Wettbewerbs entstanden ist, dessen Ziel darin bestand, mit möglichst wenig Programmiercode spektakuläre Bilder zu erzeugen: Klothoiden-Programm von Paolo Passaro
    to roses :l :n :k
    local "x
    make "x (2 * :k - :n) / (2 * :n)
    repeat 360 * :n [fd :l rt repcount + :x]
    end
    
    ; :l is the step size
    ; :n is the number of "roses"
    ; :k is the order
    
    cs
    roses 4 5 3
    
    Dieses Programm hat 3 Variablen in Form von Parametern. Man findet schnell heraus, dass Ordnung ("order") besagt, mit der wie vielten Nachbarrose eine Rose jeweils verbunden ist: Bei Order 1 sind die direkten Nachbarn jeweils miteinander verbunden; bei Order 2 jede zweite Rose etc. Das Programm ist ein riesiger Fortschritt im Vergleich zum Wikipedia-Programm: Man kann damit verschiedenste Klothoiden erzeugen. Passaros Programm beantwortet einige der oben gestellten Fragen:
    • Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen? Ja. Wie? Mit diesem Programm.
    • Gibt es jeweils nur 1 Variante mit einer best. Anzahl Pole oder mehrere verschiedene? Es gibt je nach Ordnung unterschiedliche. Worin unterscheiden sie sich? Die Tornados sind unterschiedlich miteinander verbunden.
    • Wie viele Varianten gibt es pro einer best. Anzahl Polen? Bei 5 Polen gibt es 2 Varianten: 1 und 2.Ordnung. Die Lösung 3. Ordnung ist identisch mit der Lösung 2. Ordnung. Die Lösung 4. Ordnung ist identisch mit der Lösung 1. Ordnung;
    Aber es hat noch eine Reihe von Schwächen.
    1. Es funktioniert z.B. nicht, wenn man eine Klothoide mit 4 Tornados der 2. Ordnung erzeugen möchte oder 9 Tornados der 3. Ordnung.
    2. Das Programm beantwortet nicht, wie man die Eckigkeit der Klothoiden manipulieren kann.
    3. Es wird nicht gesagt, wie man rechtsdrehende und linksdrehende Klothoiden erzeugt.
    4. Luxus-Features wie Farbwahl, Farbige Füllung, Linienbreite, Ausgangswinkel fehlen.
      Farbwahl: Über den Programm-Befehl schreiben: Setpc 4 [0=schwarz, 1=blue, 2=green, 3=cyan, 4=red, 5=magenta, 6=yellow, 7=white, 8=brown, 9=tan, 10=green, 11=aqua, 12=salmon, 13=purple, 14=orange, 15=gray]
      Farbige Füllung: Über den Programm-Befehl schreiben: filled 4 [ (eckige Klammer auf) und unter den Programm-Befehl: ] (eckige Klammer zu)
      Linienbreite: setpw 1 [1=Standard, .5 ist dünner etc.]
      Ausgangswinkel: Über den Programm-Befehl schreiben: right 30 (oder anderen Winkel) oder left 10 (oder anderen Winkel)
  4. Es werden Klothoiden mit 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 10 Zentren gezeigt und ihre Entstehung angedeutet. Dabei wird u.a. Folgendes nicht beantwortet: Kann man Klothoiden mit beliebig vielen Zentren erzeugen und wenn ja, wie?
  5. Bei den gezeigten Klothoiden mit 3, 4, 6 und 8 Wollknäueln sind jeweils die direkten Nachbarn miteinander verbunden. Bei denen mit 5 und 10 Wollknäueln ist das nicht der Fall; dort geben sich quasi jeweils die übernächsten Nachbarn die Hand. Was hat es damit auf sich?



Pöhls: Mathematik ist wunderwunderbar!
Klothoide 90 Grad

Klothoide 60 Grad

Klothoide 45 Grad

Klothoide 45 Grad K 180

Klothoide 30 Grad K 120

Klothoide 25 Grad K 60

Klothoide, Cornu-Spiralen, Euler-Spiralen: Klothoiden 1. Ordnung mit 1 geschlossenen Streckenzug

Klothoide, Cornu-Spiralen, Euler-Spiralen: Klothoiden höherer Ordnung mit 1 geschlossenen Streckenzug

Klothoide, Cornu-Spiralen, Euler-Spiralen: Klothoiden höherer Ordnung, die aus mehreren Klothoiden bestehen

Geglättete Klothoiden verschiedener Ordnung mit zwei Drehrichtungen mit 2 bis 14 Polen
to klo5 :s :zus :konst :rep
  ; Elementare Klothoiden ============
  ; :s = Länge einer Strecke
  ; :konst Konstanter Winkel
  ; :zus = Inkrement-Winkel
  ; :rep Anzahl Wiederholungen
  make "win 0
      repeat :rep[
  make "win :win+:zus
    fd :s rt :konst+:win]
end

cs
klo5 30 60 15 24 

Wie gehen Sie vor, wenn Sie die LOGO-Programme im linken Block laufen lassen möchten?

  1. JSLogo öffnen
  2. Einen Programmcode (z.B. den Code links auf dieser Seite) durch copy und paste (kopieren und einfügen) in das Feld links unten einfügen.
  3. Das Programm laufen lassen, indem man auf den Knopf "Run" unten in der Mitte drückt
  4. Das Ergebnis entsteht im Ergebnisfenster oben links.
  5. Das Ergebnis bei Bedarf speichern oder in die Zwischenablage kopieren.
Sie öffnen JSLogo in einem neuen Fenster, also auf einer zweiten Seite. Das geht am einfachsten, indem Sie auf diesen Link zu JSLogo klicken. Links ist das Ergebnis-Fenster, unten das Fenster für den Programm-Code, rechts findet man allerlei Nützliches wie den Befehlsvorrat, Links etc.

Klothoide Teil 3 - Andere Objekte aus Klothoiden-Teilen erzeugen

  1. Man kann Klothoiden - wie bei einer Babuschka-Puppe - ineinander stapeln. Voraussetzung für eine exakte Lösung wäre allerdings die Bestimmung des Mittelpunktes (siehe nächster Abschnitt).
  2. Man kann nach Klothoiden suchen, die keine Rundgebilde erzeugen.
  3. Man kann Teile von Klothoiden zusammenstellen.
  4. Haben Sie weitere tolle Ideen und Realisierungen?



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Geschachtelte Klothoide

Geschachtelte Klothoide


Klothoiden-Kette

Klothoiden-Stern

 
Klothoide Teil 4 - Ungeklärte Fragen

  1. Wie lässt sich der Mittelpunkt einer Klothoide bestimmen?
    Wie lassen sich die n Anfangspunkte einer Klothoide bestimmen?
    Idee: Das Programm kann nach (Anzahl Schritte)/(Anzahl Zentren) abgebrochen werden, dann lassen sich die Anfangspunkte sowie die Strecken dazwischen bestimmen.
    Wie lassen sich die Zentren der Tornados bestimmen?
    Ohne die Beantwortung der Mittelpunktsfrage sind wohl keine Klothoiden exakt konstruierbar, bei denen die Anzahl Tornados durch die Ordnung teilbar ist bei Ordnungen größer als 1. Auch Babuschka-Konstruktionen (siehe Teil 3) sind nicht exakt möglich.

    Meine "Lösung" ist so abenteuerlich schlecht, dass ich sie lieber nicht veröffentlichen möchte.

  2. Wie lässt sich exakt bestimmen, welche Faktoren zum Glätten der Klothoiden im Progarmm zulässig sind?
  3. Schreiben Sie ein Programm, mit dem man online beliebige Klothoide erstellen kann!
  4. Haben Sie weitere Fragen und Antworten?



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Eine Mathematik-Seite von Volker Pöhls

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First published: 16.05.2020
Last Update:    05.07.2020
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